一类具粘性阻尼项的非线性波动方程的整体吸引子及其维数

论文摘要

本文研究如下的具粘性阻尼项的非线性波动方程初边值问题的解的长时间行为:其中x∈Ω,t∈R+,σ（s）=s（?）,s≥0,m≥1,Ω是RN中具有光滑边界的区域,v是（?）Ω的外法向.g（u）和h（ut）是给定的非线性函数,f是自由项.本文分七章:第一章为引言;第二章研究问题（1）-（3）在C（R+V2）∩C1（R+;H）中的整体解的存在性和唯一性;第三章研究问题（1）-（3）在相空间X1=V2×H中整体吸引子的存在性及其维数;第四章研究问题（1）-（3）在C(R+;V2+α)∩C1（R+;Vα）（0＜α≤1）空间中解的正则性;第五章研究问题（1）-（3）在相空间X2=V2+α×Vα中整体吸引子的存在性及其维数;第六章研究问题（1）-（3）在相空间X3=V3×V1中整体吸引子的存在性及其维数;第七章对抽象条件加以验证并给出具体实例.主要结果如下:定理1假定（H1）g:V2→V-2,其中0＜ρ＜2,G（s）=（?）,1≤m≤（?）（m＜∞）,（a）+=max{0,a},及对任意的,u,v∈V2,||u||V2+||v||V2≤R,有（H2）h=h1+h2,hi:V1→V-1（i=1,2）且存在常数0＜δ1＜1,θ1∈（0,1/2）,β1＞0使得（H3）f∈V-1,（u0,u1）∈X1.则问题（1）-（3）存在唯一解u∈C（R+;V2）∩C1（R+;H）,且（u,ut）在空间X1中连续依赖于初值.注1 （H1）意味着对任意的η＞0,存在常数Cη及（?）使得注2定理1中的解（u,ut）我们用S（t）（u0,u1）=（u,ut）表示.则算子族{S（t）}t≥0是空间X1中的C0-半群.定理2在定理1的假定下,如果存在常数0＜δ2＜1/2及σ1:0＜σ1＜＜1使得对任意的v∈V1,有（H4）（H5）f∈V4σ1-1及对任意的（u,v）∈V1,||（u,v）||X1≤R,有则连续半群S（t）（见注2）在X1中存在整体吸引子A,A是连通的并有有限的分形维数和Hausdorff维数.定理3在定理1中（H1）-（H2）成立的条件下,如果（H6）映射G（见（4））:V2→L1且存在常数δ3∈（0,1）,使得对任意的u∈V2+α,v∈V1+α,||v||≤R,||u||V2≤R,有（H7）f∈Va-1,（u0,u1）∈V2+α×Vα其中0＜α≤1.则问题（1）-（3）存在唯一解u∈C(R+;V2+α)∩C1（R+;Vα）且（u,ut）在空间X2中连续依赖于（u0,u1）.定理4在定理3假定成立的条件下,取0＜α＜1,如果存在一常数σ2:0＜σ2＜1-α使得（H8）f∈V-1+α+σ2和对任意的（u,v）∈V2+α×Vα,||（u,v）||X2≤R,有则C0-半群S（t）（见注2）在X2中存在整体吸引子A,A是连通的并有有限的分形维数和Hausdorff维数.定理5在定理3中我们取α=1,m≥2,如果存在δ:0＜δ＜＜1使得任取u∈V3+δ,||u||V3≤R,u∈V1+δ,||v||V1≤R,都有（H9）则注2中定义的C0-半群S（t）在X3中存在整体吸引子A,A是连通的并有有限的fractal维数和Hausdorff维数.注3由（H1）的假定我们可推得m≥2意味着N≤4,特别地,当m=2时N=4.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• +;V₂）∩C¹（R⁺;H）中整体解的存在性和唯一性'>第二章 问题（1）-（3）在C（R⁺;V₂）∩C¹（R⁺;H）中整体解的存在性和唯一性
• 1中整体吸引子的存在性及其维数'>第三章 问题（1）-（3）在X₁中整体吸引子的存在性及其维数
• +;V_2+α)∩C¹（R⁺;V_α）中解的正则性'>第四章 问题（1）-（3）在C(R⁺;V_2+α)∩C¹（R⁺;V_α）中解的正则性
• 2中整体吸引子的存在性及其维数'>第五章 问题（1）-（3）在X₂中整体吸引子的存在性及其维数
• 3中整体吸引子的存在性及其维数'>第六章 问题（1）-（3）在X₃中整体吸引子的存在性及其维数
• 第七章 抽象条件的验证及具体实例
• 参考文献
• 致谢