论文题目: 数值微分及其应用
论文类型: 博士论文
论文专业: 计算数学
作者: 王彦博
导师: 程晋
关键词: 吉洪诺夫正则化方法,样条函数,格林函数,函数,不适定问题,数值微分
文献来源: 复旦大学
发表年度: 2005
论文摘要: 数值微分是一个在Hadamard意义下的典型的不适定问题。在测量过程中的微小误差有可能造成数值结果的巨大误差。一些方法已被用来解决这个问题。在这篇论文中,我们讨论了用吉洪诺夫正则化方法来求解数值微分问题。结果表明,一维问题的正则化解是分片样条函数;二维问题的正则化解是基于格林函数的。另外,通过一个非常简单的基于条件稳定性估计的选取正则化参数的方法,我们可以节省很大的计算量。 在本文中我们分别讨论了一维以及二维问题正则化解的存在性,唯一性,同时还给出了相应的误差估计。对于一维问题,我们讨论了高阶导数的数值微分;对于二维问题,我们讨论了一阶与二阶导数的数值微分。二维的高阶导数的数值微分,处理方法与二阶导数类似,但表现形式比较复杂,在此不作详细的论述。对于高维情况,处理方法与二维类似。 通过分析正则化解的性质,我们还发现正则化解在原函数不连续点附近具有blowup现象。利用这个性质我们可以确定原函数的不连续点,这是一个非常重要的结果,我们将在一些应用中表明这个结果的实用性。 最后,我们还给出一维与二维数值微分的一些应用。结果表明我们的方法具有简单、稳定和可快速实现的特点。
论文目录:
摘要
已发表或即将发表的与博士论文有关的文章
简介
第一章 一维数值微分
§1．1 已有结果
§1．2 一般问题的正则化解及其性质
§1．2．1 问题
§1．2．2 理论结果及相关证明
§1．2．3 正则化解在整个[0，1]区间上的性质
§1．2．4 正则化解在不光滑点附近的性质
§1．2．5 算法一：一阶导数的重构算法
§1．3 高阶导数
§1．3．1 问题
§1．3．2 主要理论结果
§1．3．3 误差估计
§1．3．4 算法二：二阶导数的重构算法
§1．4 数值例子
§1．4．1 例1(对应第1．2节)：光滑函数的一阶导数
§1．4．2 例2(对应第1．2．4节)：确定函数的不连续点
§1．4．3 例3(对应第1．3节)光滑函数的二阶导数
§1．4．4 例4(对应第1．3节)：确定系数函数
第二章 二维离散数据的数值微分
§2．1 问题
§2．2 一阶偏导
§2．2．1 解的存在性与唯一性
§2．2．2 误差估计
§2．3 二阶偏导
§2．3．1 解的存在性与唯一性
§2．3．2 误差估计
§2．3．3 二阶数值微分的泛函的另一种提法
§2．3．4 附录：G(x．y)=G(y．x)的证明
§2．4 数值例子
§2．4．1 一阶偏导的数值微分：区域是单位圆
§2．4．2 一阶偏导的数值微分：区域是个长方形
§2．4．3 二阶偏导的数值微分：区域是长方形
第三章 应用
§3．1 计算机层析成像
§3．2 求解Abel积分方程
§3．2．1 问题以及一些相应的结果
§3．2．2 算法
§3．2．3 例1：光滑函数
§3．2．4 例2：不连续函数
§3．2．5 例3：不连续函数，但先找到不连续点
§3．3 图像边界识别
§3．4 腐蚀探测：二维薄板
§3．5 腐蚀探测：三维直管道内壁的腐蚀问题
§3．6 附录：用边界元方法创建测量数据
参考文献
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发布时间: 2005-09-19
参考文献
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