基于测地距离的基本解方法求解非齐次各向异性热传导方程及其反问题

论文摘要

在许多自然科学和工程技术领域内不可避免地要碰到热传导方程及其反问题。此类齐次问题都已经有深入的研究，而非齐次问题则由于其本身的复杂性研究成果甚少。鉴于各向异性材料在实际应用中的重要性，本文考虑的是各向异性材料中非齐次热传导方程及其反问题。本文第二章讨论求解各向异性材料中的非齐次IHCP问题（inverse heat conduction problem），其主要困难是如何求出它的一个特解。本文在求解该IHCP问题时，提出了一种将基于测地距离的径向基函数Multiquadric（MQ）方法和基于测地距离的基本解方法相结合的方法。由于非齐次项可能与时间t无关，也可能有关，因此分两种情况考虑：当非齐次项与t无关时，先用基于测地距离的径向基函数MO的线性组合近似控制方程的一个特解，其组合系数为常数，然后通过在一些配置点上取值来确定组合系数，最后用基于测地距离的基本解方法求解相应的齐次问题；当非齐次项是t的函数时，先用基于测地距离的径向基函数MQ的线性组合近似控制方程的一个特解，其组合系数为t的函数，然后通过在一些配置点上取值得到一个组合系数向量关于t的一阶常微分方程，再通过用向前差分格式近似导数并取定初始值，即可得到任意时刻的组合系数，最后用基于测地距离的基本解方法求解相应的齐次问题。由于使用径向基函数MQ方法和基本解方法后得到的插值矩阵都是高度病态的，再加上问题本身的高度不适定性，所以得到的线性方程组是极为病态的。因此需采用正则化方法，本文用的是截断奇异值分解（truncated singular value decomposition，简称TSVD），其正则化参数用L-曲线准则来确定。最后给出了一些数值算例，从数据精确和含有噪音两种情形来验证这种方法求解非齐次各向异性IHCP问题的有效性，同时还分析了该方法的收敛性、对数据中噪音的稳定性以及与常参数T和c的关系。第三章讨论求解各向异性材料中的非齐次BHCP问题（backward heat conduction problem）。方法与上一章类似，不同的只是当非齐次项是t的函数时，在求特解的过程中得到组合系数关于t的一阶常微分方程以后，用向后差分格式近似导数并取定最终时刻值来确定任意时刻的组合系数。后面给出了数值算例以说明该方法的有效性，还加上了最终时刻对数值解精度的影响。第四章讨论求解各向异性材料中的非齐次热传导方程。方法与第二章相同，只是将其推广到任意维空间。后面给出了二维数值例子以说明方法的优越性，不同的是这里考察了分片光滑的几何区域，并加上了配置点数目对数值结果的影响。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• §1.1 偏微分方程反问题
• §1.2 径向基函数方法和基本解方法
• §1.3 正则化方法——截断奇异值分解法
• §1.4 数值求解热传导方程及其反问题的研究现状
• §1.5 本文的结构
• 第2章 基于测地距离的基本解方法求解非齐次各向异性IHCP问题
• §2.1 问题的数学描述
• §2.2 基于测地距离的MQ方法和基本解方法
• §2.3 数值算例
• §2.3.1 精确数据的结果
• §2.3.2 数值解对不同噪音的稳定性
• §2.3.3 数值解的精度与参数T的关系
• §2.3.4 数值解的精度与参数c的关系
• §2.4 本章小结
• 第3章 基于测地距离的基本解方法求解非齐次各向异性BHCP问题
• §3.1 基于测地距离的MQ方法和基本解方法
• §3.2 数值算例
• §3.2.1 在不同误差水平下基本解方法的稳定性和收敛性
• §3.2.2 数值解的精度与参数T的关系
• §3.2.3 数值解的精度与参数c的关系
• max的关系'>§3.2.4 数值解的精度与最终时刻t_max的关系
• §3.3 本章小结
• 第4章 基于测地距离的基本解方法求解非齐次各向异性热传导方程
• §4.1 问题的数学描述
• §4.2 基于测地距离的MQ方法和基本解方法
• §4.3 二维数值算例
• §4.3.1 数值结果与配置点、源点个数的关系
• §4.3.2 数值解与T的关系
• §4.3.3 数值解与常参数c的关系
• §4.3.4 数值解与时间方向离散步长Δt的关系
• §4.3.5 对数据中噪音的稳定性和收敛性
• §4.4 本章小结
• 参考文献
• 致谢