非线性波方程行波解分岔及其动力学行为的研究

论文摘要

本文从动力系统分岔理论的角度来研究非线性波方程的行波解，行波解的分岔及其动力学行为，并结合计算机符号代数的方法和相图分析的方法给出了不同波方程可能存在的行波解的种类，分析了这些复杂行波解产生的原因。在实际模型中，有界行波解具有很强的实际应用价值，目前求解行波解的方法给出的解不能明确给出该行波解是否有界，本文根据动力系统理论的特点，利用连接平衡点的闭轨线的特点结合轨线与行波之间的对应关系来研究非线性波方程的精确行波解的显式表达式。对于具有耗散项的非线性波方程，有些情况下，精确行波解不易求出，本文就根据平衡点附近轨道的性质，给出其近似解的表达式，拓广了求解的方法。在研究非线性波方程中，很多方程会出现非解析解(非光滑解)，对于这些非解析的行波解，尤其是Peakon解和Compacton解，在文中解释了这些非解析波存在的原因，并证明了Peakon解是广义导数意义下的广义解而非弱解，Compacton解是广义导数意义下的弱解，利用分岔理论揭示了这些非解析波解与解析波解之间的关系以及产生这些行波解的分岔条件。另外本文还证明了在积分常数不为0的情况下，非线性波方程也可以产生Compacton解，当方程的首次积分比较复杂时，尤其是出现超越函数(例如对数表达式)表达式时，方程的解非常复杂，可能出现不可数多的Compacton解，这些Compacton解有一个能量界。最后，本文研究了柱面波方程的行波解及相关的分岔行为和动力学性质，揭示了在柱面系统中，存在旋转的周期波族和破缺波，给出了这些波存在的分岔条件，并解释了这些波产生的原因。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论与预备知识
• §1.1 孤立波研究的历史背景
• §1.2 孤立子理论的研究概述
• §1.3 本文研究的主要内容及预备知识
• 第二章 非线性波方程精确行波解的研究
• §2.1 关于WBK方程的一些介绍
• §2.2 方程（2.1.8）的相图
• §2.3 由（2.1.8）所对应的孤立波和纽子波
• §2.4 由（2.1.8）所对应的周期波解
• §2.5 本章小节
• 第三章 具有耗散项的非线性波方程近似解的研究
• §3.1 复合Burgers-Korteweg-de Vries方程的简介
• §3.2 系统（3.1.1）的定性分析
• §3.3 方程（3.1.1）的激波解的存在唯一性及表达式
• §3.4 本章小节
• 第四章 广义C-H方程的光滑与非光滑行波解及其分岔的研究
• §4.1 广义的Camassa-Holm方程的简介及其相关的简化形式
• §4.2 方程（4.1.5）的相图及其分岔集
• §4.3 系统（4.1.1）的光滑和非光滑行波的存在性及其动力学行为
• §4.4 本章小节
• 第五章 一类新的可积系统的复杂行波解及其分岔行为的研究
• §5.1 一类新的可积系统及其研究的现状
• §5.2 方程（5.1.1）的相图及其分岔
• §5.3 光滑行波解的存在性
• §5.4 非光滑周期波和不可数多的光滑孤立波的存在性
• §5.5 广义解及弱解的存在性
• §5.6 本章小节
• 第六章 柱面行波系统行波解的研究
• §6.1 一类具有周期势模型的方程
• §6.2 方程（6.1.1）的分岔集、相图及其分类
• §6.3 光滑行波解的存在性及解的表达式
• §6.4.非光滑周期波的存在性及其变动情况
• §6.5 本章小节
• 第七章 结束语与展望
• §7.1 本文研究工作的总结
• §7.2 对今后研究工作的展望
• 参考文献
• 致谢
• 论文发表和索引情况
• 参加和主持的科研项目
• 参加学术会议情况
• 所获荣誉