单调动力系统的若干结果及其应用

论文摘要

本文以单调动力系统（monotone systems）为研究对象,在放松K-型序下的拟单调条件限制的同时考虑了斜积半流的动力学行为.分为自治和非自治动力系统两部分.在自治动力系统（autonomous systems）方面,已有的拟单调条件在许多应用中不能满足.一个典型的例子就是在神经元之间具有抑制和刺激的联络时的时滞Hopfield-型神经网络模型.受此启发,我们引入了弱拟单调条件（WQM）,建立了以K-型单调矩阵为参数的集合族,它是对应的状态空间上的一个锥,这样就有了相应的序关系,即指数序.在弱拟单调条件下,证明了普通解都收敛于平衡点且存在一个序凸的收敛点的集合,并且把所得结果应用到时滞Hopfield-型神经网络模型中.在非自治动力系统（nonautonomous systems）方面,主要研究斜积半流的动力学行为.分为四章来阐述.首先,在最终强单调和凹假设之下,建立了斜积半流的三分二分性定理,为满足此类假设的微分系统解的长时间行为给了一个完备的描述,并以Hopfield-型神经网络模型为例应用了所得结果.鉴于斜积半流ω-极限集特别是其1-覆盖性在考虑轨道的长时间行为时的重要性,在斜积半流满足同样的假设之下,研究了两个具有完全强序关系的ω-极限集,并且发现“较大”（文章所定义的序下的大小关系）的一个是基的一个拷贝同时也是一致稳定的全局吸引子.这样使得对斜积半流ω-极限集的结构有了进一步的认识,同时把所得的结果应用到时滞微分方程中.其次,以斜积半流在一个紧的正不变子集上线性化而得到的线性斜积半流为研究对象,以指数二分性的形式建立了紧的正不变子集双曲稳定的充分条件,同时在最终强单调的假设之下,建立了连续分解和指数二分性之间的关系,以对（B（IR+,X）,B0（IR+,X））相容的形式,建立了斜积半流指数二分性存在的充要条件.最后研究了由半凸且K-型竞争的几乎周期微分方程所生成的斜积半流.当M是斜积半流紧的正不变子集时,我们建立了斜积半流在M上的连续分解.更进一步,如果两个极小集M1和M2满足完全强K-型序M1<<KCM2,那么M1是全局一致稳定吸引子.最后把所得结果应用到具有K-型单调联络矩阵的非自治Hopfield-型神经网络模型中并得到了偏序或全局吸引子存在的充分条件.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 前言
• 1.1 问题的背景
• 1.2 研究的问题
• 1.3 结构安排和主要结果
• 第二章 K-型指数序及其应用
• 2.1 引言
• 2.2 K-型指数序
• 2.3 时滞Hopfield-型神经网络
• 第三章 斜积半流极限集的三分性和二分性及其应用
• 3.1 引言
• 3.2 全局吸引子
• 3.3 Hopfield-型神经网络模型
• 第四章 单调凹斜积半流的全局动力学行为及其应用
• 4.1 引言和预备知识
• 4.2 全局吸引子及其在时滞微分方程中的应用
• 第五章 紧的正不变集上的线性斜积半流的指数二分性及相容性
• 5.1 引言
• 5.2 预备知识
• 5.3 指数二分性
• 5.4 双曲稳定性与不稳定性
• 5.4.1 双曲稳定性
• 5.4.2 双曲不稳定性
• 5.5 相容性
• 第六章 非自治K-型竞争半凸微分方程的吸引极小集理论及其应用
• 6.1 引言
• 6.2 预备知识
• 6.3 K-型单调且K-型凸斜积半流
• 6.4 斜积半流在紧的正不变集上的分解
• 6.5 完全强K-型序极小集
• 6.6 K-型序下的极小子集
• 6.7 时滞Hopfield-型神经网络模型
• 研究展望
• 参考文献
• 在学期间完成的学术论文
• 致谢