微分求积法、Sinc方法中几个新方法的研究

论文摘要

微分求积法（Differential Quadrature Method，英文简称DQM）是由Bellman及其同事（BELLMAN和CASTI 1971，BELLMAN，KASHEF and CASTI 1972）在70年代初期提出的求解非线性偏微分方程的一种新方法。自提出以来，DQM已经被成功地应用到许多工程物理问题中去。这个算法数学原理简单，计算精度高，计算量小，使用方便，不依赖泛函和变分原理，边界条件不必另外考虑。当问题具有全局性光滑解时，DQM因为其精度高的逼近及只需较少的网格点而成为优于有限元和有限差分的更佳选择。在最近的一份比较研究（Malik和Civan 1995）中，我们看到DQM在计算精度及计算量方面要明显优于有限差分及有限元方法。Bert和Malik（1996）给出了把微分求积法应用到几个机械工程问题中的示例。区域分裂法（Domain Decomposition Method，英文简称DDM）是上个世纪六十年代由德国数学家H．Schwarz为解复杂区域上的偏微分方程而提出的。DDM有三种类型：（1）带重叠的区域分裂法（DDM-1），（2）不带重叠的区域分裂法（DDM-2），（3）带虚拟成分的区域分裂法（DDM-3）。DDM有许多优点，如区域分裂方式的任意性、区域分裂后物理问题的数学描述的多样性以及问题求解方法的灵活性，因此它已成为大型科学计算问题的算法设计的重要方法。通过DDM，使乘法的复杂性大大的减少了，同时也使DQM的有效性大大的增加了。DDM发展到今天，它已不再是一个单纯的计算方法甚至一类计算方法，而是问题求解一整过程的思想与方法的集成。但是众所周知，在某些情况下这种方法并不适用。例如，考虑Dirichlet问题，传统的Lagrange插值并不能直接用于在无界区域上的问题，同时它也不适合逼近在空间方向振荡的函数。但是若使用Sinc函数作为基，可以很好地解决这些问题（Stenger 1983，Stenger 1993，Lund和Bowers 1992）。Sinc配点法是用Sinc函数（Stenger 1983，Stenger 1993，Lund和Bowers 1992）作为基函数来构造微分求积法并以此为基础来求解微分方程。多项式基是在Sobolev空间中讨论逼近性态的，而Sinc函数是在解析函数空间中研究逼近性态的。Sinc函数逼近方法在引进指数变换后其逼近真解的误差可达到指数阶收敛。Sinc函数对边界层问题与振荡问题具有很好的逼近效果。所以，Sinc配点法在求解微分方程时将达到真正的高效率与高精度，对微分方程数值解计算方法具有革命性的意义。Sinc数值方法要推广与应用遇到的一个主要瓶颈问题是如何处理有限区域的边界条件特别是边界点上的法向导数。Narasimham，Majdaln和Stenger（2002）以及Morlet，Lybeck和Bowers（1997）等在处理边界点法向导数时改用差分方法处理。这将大大降低精度。并且由于Sinc点在做了坐标变换后是向区间两端密集的，所以简单地用差分代替微商将使有效位数损失很多，误差增大。不是一个好办法。寻找处理计算区间的各种边界条件，特别是如何计算边界上的法向导数是推动Sinc数值方法发展的一个重要且极有意义的工作。Stokes方程和Navier-Stokes方程在力学与工程领域中有着广泛的应用。数值计算Stokes方程和Navier-Stokes方程在力学与工程中已占有越来越重要的地位。1996年美国能源部及其属下的三大国家实验室提出了”ASCI”计划（即加速战略计算创新计划），该计划的实质是将过去以实验为主的科学研究方法转化为以数值模拟为主的科学研究方法。自从这两个方程提出以来，人们一直努力地寻找一种计算简单，实施方便同时精度有比较高的算法。每年在各种计算数学期刊杂志上有成百上千篇的这方面的文献资料，它们分别从不同的角度分析研究这两个方程的数值算法。如何快速精确计算Stokes方程和Navier-Stokes方程，一直是微分方程数值计算领域中的热点问题。这一问题的主要难点在于：压力与速度耦合，没有明确地给出确定压力的方程，计算得到的速度如何确保其满足散度为零的条件等。环绕这些问题不同的解决方案已提出。特别是压力和速度分离的方案被认为是一种准确且有效的方案而备受关注。传统的分离方案要寻找满足divu=0或其弱形式的子空间的一组基底。但要做到这一点是极其困难与复杂的。寻找简单且有效的方法来使速度与压力分离从而高效准确地计算Stokes方程和Navier-Stokes方程将是一件极具意义的工作。本文的主要贡献和创新之处有如下几点。我们提出了一种增量计算的方法，并且将其与微分求积相结合，可以很有效的处理非线性方程；我们提出了一种微分求积区域分裂法，可以有效地处理一些带有奇异性的问题；提出了微分求积消元法，这个方法可以有效地求解Stokes方程以及Navier-Stokes方程；然后我们创新地提出了一种带有边界处理的Sinc collocation方法，可以方便地处理微分方程，而无论它带有什么样的边界条件；最后，我们提出了一种基于最高阶导数逼近的Sinc方法，它克服了数值微分所带来的固有缺点。本文的结构如下：第一章是引言；第二章是对于微分求积区域分裂法以及增量计算法研究；第三章是研究Stokes方程以及Navier-Stokes方程上的这些方法；第四章是对于Sinc方法的研究，并提出一种带有边界处理的新的Sinc配点法；第五章是在第四章的基础上，研究基于高阶导数逼近的Sinc方法；第六章是总结与展望。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 引言
• 第2章 微分求积法中几个新方法的研究
• 2.1 引言
• 2.2 微分求积法公式的构造
• 2.3 DQM的误差分析
• 2.4 BBM方程的有理逼近增量计算法
• 2.4.1 矩阵指数的计算
• 2.4.2 稳定性分析
• 2.4.3 BBM方程的有理逼近增量计算法
• 2.4.4 数值结果以及分析
• 2.5 裂缝问题的微分求积区域分裂法
• 2.5.1 两个引理
• 2.5.2 裂缝问题的微分求积区域分裂法
• 2.5.3 数值结果以及分析
• 2.6 本章小结
• 第3章 Stokes方程以及Navier-Stokes方程的微分求积消元法
• 3.1 Stokes方程的微分求积消元法
• 3.1.1 引言
• 3.1.2 Stokes方程的微分求积消元法
• 3.1.3 数值结果以及分析
• 3.1.4 本节小结
• 3.2 Navier-Stokes方程（流函数形式）的微分求积消元法
• 3.2.1 引言
• 3.2.2 Navier-Stokes方程（流函数形式）的微分求积消元法
• 3.2.3 数值结果以及分析
• 3.2.4 本节小结
• 3.3 Navier-Stokes方程（原参数形式）的微分求积消元法
• 3.3.1 引言
• 3.3.2 Navier-Stokes方程（原参数形式）的微分求积消元法
• 3.3.3 数值结果以及分析
• 3.3.4 本节小结
• 第4章 带有边界处理的Sinc-collocation方法
• 4.1 一维的带边界处理的Sinc-collocation方法
• 4.1.1 引言
• 4.1.2 在区间（-∞,∞）上的Sinc collocation方法
• 4.1.3 收敛性分析
• 4.1.4 在区间[a,b]上的Sinc collocation方法
• 4.1.5 带有边界处理的Sinc collocation方法（SCMBT）
• 4.1.6 收敛性分析
• 4.1.7 数值算例
• 4.2 二维的带边界处理的Sinc-collocation方法
• 4.2.1 双三次康斯曲面
• 4.2.2 一种特殊的情况的二维Sinc-collocation方法
• 4.2.3 一般情况下的带有边界处理的Sinc collocation方法
• 4.2.4 一般方程的SCMBT
• 4.2.5 数值算例以及分析
• 4.3 Stokes方程的SCMBT
• 4.3.1 Stokes方程的SCMBT
• 4.3.2 数值算例以及分析
• 4.4 本章小结
• 第5章 基于最高阶导数插值的Sinc方法
• 5.1 引言
• 5.2 Sinc collocation方法的收敛性定理
• 5.3 基于最高阶导数插值的Sinc方法（SIHD）
• 5.3.1 两点边值问题的SIHD方法以及分析
• 5.3.2 在二维椭圆边值问题上的SIHD
• 5.4 数值结果
• 5.5 本章小结
• 第6章 结论与展望
• 致谢
• 参考文献
• 个人简历 攻读博士学位期间的研究成果