非线性偏微分方程的解法研究

论文摘要

非线性动力学是非线性科学的一个重要分支,而非线性偏微分方程的精确求解及其解法研究又是非线性动力学的一个主要内容。非线性偏微分方程的精确求解及其解法研究作为非线性科学中的前沿研究课题和热点问题,极具挑战性。目前虽然已经提出和发展了许多求非线性偏微分方程精确解的方法,但由于求解非线性偏微分方程没有也不可能有统一而普适的方法,因此继续寻找一些有效可行的方法依然是一项十分重要和极有价值的工作。本文在全面归纳和总结现有各种求解非线性偏微分方程的主要方法的基础上,对非线性偏微分方程的解法进行了较为系统和深入的研究,提出了几种求非线性偏微分方程精确解的新方法,并用这些新方法求解了许多物理和力学中非常重要的非线性偏微分方程,不但获得了已有的结果,而且得到了许多新的结果,丰富和发展了非线性偏微分方程解法研究的内容。本文的工作具有较大的理论意义和应用价值。全文共分六章。第一章为绪论,简要地回顾了非线性偏微分方程提出的历史背景,全面归纳和总结了国内外所提出的求非线性偏微分方程精确解的一些主要方法,扼要地介绍了本文研究的目的和主要内容。第二章用力学的方法简单地导出了几个重要的非线性偏微分方程。第三章提出了一种求非线性偏微分方程（组）精确解的变换—试探函数法,并用该方法简洁地求得了许多非线性偏微分方程的大量精确解,包括许多新解。第四章提出了一种求Burgers方程、KdV方程和KdV-Burgers方程精确解的直接方法,用这种方法,不但能求得用第三章中的变换—试探函数法求得的所有解,还能求得用第三章中的变换—试探函数法不能求得的许多新解。第五章提出了一种由Burgers方程的解和KdV方程的解构造KdV-Burgers方程的解以及由KdV方程的解和Kuramoto-Sivashinsky方程的解构造KdV-Burgers-Kuramoto方程的解的叠加法,并用该方法简洁地求得了KdV-Burgers方程和KdV-Burgers-Kuramoto方程的若干精确解,所得结果与第三章中用变换—试探函数法求得的结果完全相同。第六章提出了一种求某些超越非线性偏微分方程精确解的辅助常微分方程法,并用该方法简洁地求得了sine-Gordon型方程、sinh-Gordon型方程以及Born-Infeld方程的大量精确解,包括许多新解。最后对本文的工作进行了总结,并对今后的研究方向作了展望。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题的提出
• 1.2 非线性偏微分方程提出的历史回顾
• 1.3 非线性偏微分方程的解法综述
• 1.4 本文的研究目的和主要内容
• 1.4.1 研究目的
• 1.4.2 主要内容
• 1.4.3 主要创新点
• 第2章 力学中几个非线性偏微分方程的简单推导
• 2.1 引言
• 2.2 几个非线性偏微分方程的力学导出
• 2.2.1 Burgers 方程
• 2.2.2 KdV 方程
• 2.2.3 KdV-Burgers 方程
• 2.2.4 非线性 Klein-Gordon 方程
• 2.2.5 非线性弦振动方程
• 2.2.6 mKdV 方程
• 2.2.7 组合 KdV- m KdV 方程
• 2.2.8 sine-Gordon 方程
• 2.2.9 Born-Infeld 方程
• 2.3 本章小结
• 第3章 变换—试探函数法
• 3.1 引言
• 3.2 基本思想
• 3.3 应用举例
• 3.3.1 Burgers 方程
• 3.3.2 KdV 方程
• 3.3.3 KdV-Burgers 方程
• 3.3.4 Kuramoto-Sivashinsky 方程
• 3.3.5 Kawahara 方程
• 3.3.6 KdV-Burgers-Kuramoto 方程
• 3.4 推广
• 3.4.1 非线性 Klein-Gordon 方程
• 3.4.2 非线性弦振动方程
• 3.4.3 mKdV 方程
• 3.4.4 组合 KdV-mKdV 方程
• 3.4.5 （2+1）维破碎孤子方程
• 3.4.6 Kadomtsev-Petviashvili 方程
• 3.4.7 非线性浅水长波近似方程组
• 3.5 本章小结
• 第4章 直接解法
• 4.1 引言
• 4.2 基本思想
• 4.3 应用举例
• 4.3.1 Burgers 方程
• 4.3.2 KdV 方程
• 4.3.3 KdV-Burgers 方程
• 4.3 本章小结
• 第5章 叠加法
• 5.1 引言
• 5.2 基本思想
• 5.3 应用举例
• 5.3.1 KdV-Burgers 方程
• 5.3.2 KdV-Burgers-Kuramoto 方程
• 5.4 本章小结
• 第6章 辅助常微分方程法
• 6.1 引言
• 6.2 基本思想
• 6.3 应用举例
• 6.3.1 sine-Gordon 型方程
• 6.3.1.1 sine-Gordon 方程
• 6.3.1.2 双sine-Gordon 方程
• 6.3.1.3 m KdV-sine-Gordon 方程
• 6.3.2 sinh-Gordon 型方程
• 6.3.2.1 sinh-Gordon 方程
• 6.3.2.2 双sinh-Gordon 方程
• 6.4 推广
• 6.5 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 附录 A 攻读学位期间发表论文目录
• 附录 B 用变换—试探函数法所求得的许多其它非线性偏微分方程（组）的解.
• 致谢