Banach空间中半群的指数吸引子存在性及其应用的研究

论文摘要

这篇博士论文着重研究了在吸收集不具有紧性的条件下,Banach空间上指数吸引子的存在性问题.并讨论了含任意p次多项式增长的非线性反应扩散方程指数吸引子的存在性.设{Sn}n=1∞为定义在Banach空间X上的离散半群,（?）为其吸引子.假设S在集合B∈0（（?））上是C1的,并且S在集合B∈0（（?））上任意一点的线性化算子可以分解为紧算子K与压缩算子C（||C||<λ<1）之和,即L=K+C.则可以证明离散半群{Sn}n=1∞存在指数吸引子Md（定理3.1.1所述内容）.在证明离散半群存在指数吸引子Md中我们注意到,当B∈0（（?））是S的不变集,则对任意整数m≥1,由此选取合适的邻域（?）并在其上构造出{Sn}n=1∞的指数吸引子.对于Banach空间X上的连续半群{S（t）}t≥0,（?）为其吸引子.注意到对任意∈0>0存在T*>0,使得S（T*）:B∈0（（?））→B∈0（（?））.记S=S（T*）,通过验证S是C1的,首先得到离散半群{Sn}n=1∞的指数吸引子Md,然后根据[47]中第三章的办法构造出连续半群的指数吸引子Mc,见定理3.2.1.作为应用,考虑下面含任意p次多项式增长的非线性反应扩散方程指数吸引子的存在性:Ω（?）Rn（n≥3）是有界光滑区域,p≥2,初始值u（0）∈L2（Ω）,外力项g∈L2（Ω）,且非线性项f∈C2满足我们在空间L2p（Ω）证明了指数吸引子的存在性.这是用通常构造指数吸引子的办法不容易验证的.值得注意的是,我们通过平移S1（t）（u0-u*）（?）S（t）u0-u*的办法证明了{S（t）}t≥0在L2p（Ω）上的可微性.其中u*是以下椭圆方程的全局极小解:平移半群（?）（t）（?）S1（t）（u0-u*）满足以下方程用Marion迭代的办法,可证明当t>0时,S1（t）（u0-u*）∈L∞（Ω）.这样通过将原系统作u*到原点的平移,得到一个比较正则的系统.若能验证{S1（t）}t≥0所对的正则系统的可微性,由S1（t）（u0+υ0-u*）-S1（t）（u0-u*）=（S（t）（u0+υ0）-u*）-（S（t）u0-u*）=S（t）（u0+υ0）-S（t）u0即可证明{S（t）}t≥0的可微性.全文共分为四章:第一章:介绍了无穷维动力系统的发展进程,指数吸引子的存在性以及进展情形,详细介绍了本文的主要思想及所研究的主要问题.第二章:给出了本文所用到的一些基础知识.第三章:研究了吸收集不紧的情形下,Banach空间上的指数吸引子的存在性.第四章:利用第三章的理论证明方程（1）在空间L2p（Ω）存在指数吸引子.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 记号
• 第1章 综述
• §1.1 指数吸引子的已有理论、方法及其进展
• §1.2 本文的工作
• §1.3 展望
• 第2章 准备知识
• §2.1 基本概念
• §2.2 常用不等式
• 第3章 Banach空间半群的指数吸引子
• n}_n=1^∞的指数吸引子'>§3.1 离散半群{Sⁿ}_n=1^∞的指数吸引子
• t≥0的指数吸引子'>§3.2 连续半群{S（t）}_t≥0的指数吸引子
• §3.3 半群的可微性
• 第4章 含任意多项式增长的非线性反应扩散方程的应用
• *）（?）S'（t^*）:V（?）W（t^*）,V,W（t^*）∈H₀¹（Ω）∩L^2p（Ω）'>§4.1 L（t^*）（?）S'（t^*）:V（?）W（t^*）,V,W（t^*）∈H₀¹（Ω）∩L^2p（Ω）
• 1（t）}_t≥0在L²（Ω）的余项估计'>§4.2 平移半群{S₁（t）}_t≥0在L²（Ω）的余项估计
• 1（t）}_t≥0在L^2p（Ω）的余项估计'>§4.3 平移半群{S₁（t）}_t≥0在L^2p（Ω）的余项估计
• t≥0在L^2p（Ω）的指数吸引子'>§4.4 半群{S（t）}_t≥0在L^2p（Ω）的指数吸引子
• 参考文献
• 在学期间的研究成果
• 致谢