具阻尼的p-方程组解的渐近行为及最优衰减率

论文摘要

本文主要研究了具线性和非线性阻尼的p-方程组解的渐近行为和最优衰减率，得到了如下三个结果：（Ⅰ）：考虑具有非线性阻尼项的p-方程组的Cauchy问题初始值为（v（x，0），u（x，0））=（v0（x），u0（x）），x∈R，（0．0．2）其中p（v）为单调递减光滑函数，f（u）为光滑函数，初始值（v0（x），u0（x））满足：（v0（x），u0（x））→（v±，u±），v-≠v+，x→±∞．（0．0．3）在如下假设条件下（A1）对任意的v>0，p（v）∈C3（R+），p’（v）<0；（A2）v±>0，u+=u-=0；（A3）设非线性阻尼项f（u）为线性阻尼部分与非线性阻尼部分的叠加，即f（u）=αu+g1（u），α>0为常数，g1（u）∈C3（R），g1（0）=g′1（0）=g″1（0）=0．利用先验估计和能量积分的方法得到在小初值的假设条件下，Cauchy问题（0．0．1）-（0．0．3）存在唯一的整体光滑解，并且依时间渐近收敛到由Darcy定律得到的非线性扩散波（v，u）（x，t），其中（v，u）（x，t）满足此外，利用Green函数和能量估计的方法还得到了解的Lp（2≤p≤+∞）收敛率．（Ⅱ）：考虑具有非线性阻尼项的p-方程组的初边值问题初始值为（v（x，0），u（x，0））=（v0（x），u0（x））→（v+，u+），x→∞，且v+>0，（0．0．6）边界条件为Dirichlet边界条件u|x=0=0，（0．0．7）或Neumann边界条件ux|x=0=0，（0．0．8）其中α为正常数．在如下假设条件下（B1）对任意的v>0，p（v）∈C3（R+），p′（v）<0；（B2）v+>0，u+=0；（B3）非线性函数g（u）∈C2（R），且满足g（0）=g′（0）=0．利用先验估计和能量积分的方法证明了在小初值的假设条件下，带Dirichlet边界条件的初边值问题（0．0．5）-（0．0．7）存在唯一的整体光滑解，并依时间渐近收敛到非线性扩散波（v*，u*）（x，t），其中（v*，u*）（x，t）满足另外，利用Green函数的方法还得到了解的最优L∞收敛率．对于带Neumann边界条件的初边值问题（0．0．5），（0．0．6）和（0．0．8），利用能量估计的方法也得到了光滑解的整体存在性和唯一性，在v0（0）=v+和v0（0）≠v+两种情形下分别讨论了解的渐近行为和最优L∞收敛率．（Ⅲ）：考虑具有线性阻尼项的p-方程组的初边值问题初始值为（v（x，0），u（x，0））=（v0（x），u0（x））→（v+，u+），x→+∞，且v+>0，（0．0．11）边界条件为Dirichlet边界条件u|x=0=0，（0．0．12）其中α为正常数．利用能量估计的方法证明了在一定的“大”初值条件下，初边值问题（0．0．10）-（0．0．12）存在唯一的整体光滑解，并且解依时间渐近收敛到非线性扩散波（v，u）（x，t），其中（v，u）（x，t）满足另外，利用Green函数的方法还得到了解的最优L2收敛率．

论文目录

• 内容摘要
• ABSTRACT
• 第一章 概述
• §1.1 研究的问题及研究背景
• §1.2 主要结果及重难点
• §1.3 结构安排
• p衰减率'>第二章 具非线性阻尼项的p-方程组Cauchy问题非线性扩散波的L^p衰减率
• §2.1 引言
• §2.2 预备知识
• §2.3 主要结果的证明
• §2.3.1 能量积分和渐近行为
• §2.3.2 衰减估计（2.1.14）和（2.1.15）的证明
• p能量估计（2.1.16）的证明'>§2.3.3 最优L^p能量估计（2.1.16）的证明
• 第三章 四分之一平面上具非线性阻尼项的p-方程组初边值问题解的渐近行为及收敛率
• §3.1 引言
• §3.2 预备知识
• §3.3 带Dirichlet边界条件的情形
• §3.3.1 问题的转化和主要结果
• §3.3.2 定理的证明
• §3.4 带Neumann边界条件的情形
• 第四章 大初值假设条件下具线性阻尼项的p-方程组初边值问题解的渐近行为及收敛率
• §4.1 引言
• §4.2 问题的转化和主要结论
• §4.3 主要结论的证明
• §4.4 引理4.3.3的证明
• §4.4.1 能量估计和渐近行为
• §4.4.2 衰减估计（4.3.4）和（4.3.5）
• 参考文献
• 在学期间发表和完成文章目录
• 致谢