二维浅水波方程和欧拉方程数值激波不稳定性分析

论文摘要

当使用能够精确分辨接触间断的数值格式来计算多维流体力学问题时,会发现激波附近的扰动有时会出现剧烈增大的现象,这就是所谓的数值激波不稳定性现象。许多文献对二维欧拉方程部分数值格式的不稳定性现象进行了分析和解释,并给出了治愈激波不稳定性的方法。但几乎所有的文献均未讨论过浅水波方程的激波不稳定性问题。本文对二维浅水波方程和欧拉方程数值激波不稳定性问题进行了研究。在对数值激波不稳定性研究现状进行回顾之后,论文的第一部分研究二维浅水波方程的数值激波不稳定性问题。通过对部分数值格式的线性稳定性分析和相关数值试验,我们发现临界稳定性与部分格式的激波不稳定现象存在密切联系。部分格式在剪切粘性和非线性波粘性的不足,导致了二维浅水波方程的数值激波不稳定性现象。利用临界稳定性分析,文中提出了一种能够消除数值不稳定性现象的混合型数值格式。论文的第二部分将二维浅水波方程数值激波不稳定性的研究方法推广到二维欧拉方程。与浅水波方程研究不同的是,欧拉方程部分格式的稳定性除了需要足够的剪切粘性,还需要对质量方程进行改进。与之类似的是,通过修改临界稳定的特征值,构造了相应的混合型数值格式来消除二维欧拉方程的数值激波不稳定性现象。数值试验展示了混合格式对于消除二维浅水波方程和欧拉方程激波数值不稳定现象的有效性和健壮性。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 双曲型守恒律计算方法概述
• 1.2 激波不稳定性问题的研究进展
• 1.3 论文的主要内容
• 第二章 双曲型守恒律的理论和数值格式介绍
• 2.1 双曲型守恒律和Riemann问题
• 2.2 二维欧拉方程
• 2.3 二维浅水波方程
• 2.4 有限体积格式概述
• 2.5 Godunov方法与Riemann解法器
• 2.5.1 Roe解法器
• 2.5.2 HLL解法器
• 2.5.3 HLLC解法器
• 2.6 一类通量分裂格式-AUSM格式
• 第三章 二维浅水波方程数值激波不稳定性分析
• 3.1 浅水波方程数值激波不稳定现象
• 3.2 二维浅水波方程线性稳定性分析
• 3.2.1 纵向扰动
• 3.2.1.1 Roe格式
• 3.2.1.2 HLL格式
• 3.2.1.3 HLLC格式
• 3.2.1.4 AUSM格式
• 3.2.2 横向扰动
• 3.2.2.1 Roe格式
• 3.2.2.2 HLL格式
• 3.2.2.3 HLLC格式
• 3.2.2.4 AUSM格式
• 3.3 浅水波方程数值激波不稳定现象的解释
• 3.4 二维浅水波方程混合型数值格式
• 3.5 数值实验
• 第四章 二维欧拉方程数值激波不稳定性分析
• 4.1 欧拉方程数值激波不稳定现象
• 4.2 二维欧拉方程线性稳定性分析
• 4.2.1 纵向扰动
• 4.2.1.1 Roe格式
• 4.2.1.2 HLL格式
• 4.2.1.3 HLLC格式
• 4.2.1.4 AUSM格式
• 4.2.2 横向扰动
• 4.2.2.1 Roe格式
• 4.2.2.2 HLL格式
• 4.2.2.3 HLLC格式
• 4.2.2.4 AUSM格式
• 4.3 欧拉方程激波不稳定现象的解释
• 4.4 二维欧拉方程混合型数值格式
• 4.5 数值实验
• 第五章 总结
• 致谢
• 参考文献
• 附录