三维弹性接触Taylor级数多极边界元法理论与应用研究

论文摘要

从上世纪50年代以来,计算力学就在固体力学的各分支学科和边缘学科中得到了很大发展,它已经成为固体力学除理论研究和实验研究以外的第三种研究手段。如今数值解析方法已经成为现代科学与工程领域中的主要分析工具。数值仿真已成为工程和科学的重要部分,并且强烈地影响到几乎工程与科学的每一个分析领域。边界元法是一种重要的现代数值解析工具,是继有限元法之后的一种别具特色的数值方法。它是将描述问题的偏微分方程转化为边界积分方程,并吸收了有限元法的离散化技术而发展起来的。由于具有降维和半解析等独特的优势,使其成为有限元法的重要补充,在某些工程领域中甚至成为不可替代的数值方法。由于边界元法最终形成的线性方程组的系数矩阵是非对称满秩矩阵,对于大规模问题的解析时,传统的求解方式(边界积分方程—影响系数数值积分—线性方程组及消去法求解)将导致昂贵的计算代价,这使边界元法仅用于中小规模问题的分析。快速多极算法与边界元法相结合,加速了影响系数的计算,更新了传统边界元法的求解模式,能够有效地提高边界元法的求解效率,使之适应大规模问题的计算和分析。本文主要是对三维Taylor级数多极边界元法的理论进行深入的研究。多极边界元法在提高求解效率(计算时间和内存使用)的同时,其计算精度与传统边界元法相比精度有所下降。本文首先对径矢函数r的Taylor级数展开性质进行了研究。然后对三维弹性问题Taylor级数多极边界元法的误差进行分析,推导了误差估计公式,给出了远近场的划分准则,分析了影响Taylor级数多极边界元法计算精度的因素。边界元法中基本解是用张量形式给出的,这种形式的公式具有表示简单,易于编程的特点,但是张量形式的公式中有许多相同的项被重复计算和存储,在一定程度上降低了计算效率。本文根据三维Taylor级数展开项和三维分量对称性的特点,给出了三维弹性问题Taylor级数多极边界元法的矢量化公式。矢量化公式减少了计算量和内存使用量,进一步提高了Taylor级数多极边界元法的求解效率。对于大规模问题形成的线性方程组,由于条件数的恶化,迭代方法和预条件技术的选择是有效求解的关键。本文对适合求解边界元法形成的非对称稠密线性方程组的常用迭代方法(Krylov subspace methods)进行了研究。对不同Krylov子空间迭代法的求解性能和效率进行了比较分析,给出了不同求解方法的Fortran程序。对常用预条件技术进行了比较分析,提出了一种适合多极边界元法的近场预条件技术,进一步加速收敛,减少迭代次数。对三维弹性摩擦接触问题的Taylor级数多极边界元法进行了研究,给出了合适的基本解Taylor级数展开策略,提出了基于点—面接触模型多物体摩擦接触问题的数学规划求解方法。给出了大规模数值算例,成功分析了HC轧机辊间接触压力分布和辊系的弹性变形。数值实验证明了该方法的有效性和正确性。本文对三维问题Taylor级数多极边界元法的基础理论和应用进行了研究,其中涉及弹性问题、弹性接触问题、线性方程组迭代解法和预条件技术等,为进一步提高Taylor级数多极边界元法的计算效率奠定了基础。课题研究属于计算力学的前沿,具有重大的学术意义,工程应用前景广阔。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 工程中的近似数值方法
• 1.1.1 主要近似数值方法概述
• 1.1.2 各种近似数值算法分析比较
• 1.1.3 计算力学发展和未来趋势
• 1.2 边界元法发展概况
• 1.3 多极边界元法
• 1.3.1 快速多极算法
• 1.3.2 多极边界元法国内外研究现状
• 1.3.3 边界元线性方程组迭代解法
• 1.4 课题来源、研究内容和意义
• 第2章 快速多极算法
• 2.1 球谐函数多极展开基本理论
• 2.1.1 球谐函数多极展开的数学理论
• 2.1.2 快速多极算法的数据结构与实现步骤
• 2.2 Taylor 级数多极展开基本理论
• 2.2.1 一元函数Taylor 级数公式
• 2.2.2 多元函数Taylor 级数公式
• 2.3 两种多极方法的比较和分析
• 2.4 本章小结
• 第3章 三维弹性Taylor 级数多极边界元法
• 3.1 三维弹性Taylor 级数多极边界元法
• 3.1.1 弹性问题基本方程
• 3.1.2 弹性问题边界元法
• 3.1.3 基本解的Taylor 级数展开
• 3.1.4 Taylor 级数多极边界元法的实现
• 3.1.5 两种可选择的Taylor 级数多极边界元法
• 3.1.6 Taylor 级数多极边界元法计算流程
• 3.2 三维弹性Taylor 级数边界元法误差分析
• 3.2.1 矢函数r 展开误差
• 3.2.2 基本解积分项展开误差
• 3.2.3 Taylor 级数展开的平移误差
• 3.2.4 远近场划分准则
• 3.3 三维弹性Taylor 级数多极边界元法矢量化公式
• 3.3.1 矢量化基本概念和理论
• 3.3.2 算子矢量化性质
• 3.3.3 矢量化Taylor 级数展开公式
• 3.3.4 效率分析
• 3.4 数值算例
• 3.5 本章小结
• 第4章 边界元法所形成线性方程组迭代求解技术
• 4.1 Krylov 子空间迭代法
• 4.1.1 共轭梯度法
• 4.1.2 广义极小残值法
• 4.1.3 双共轭梯度法
• 4.1.4 共轭梯度平方法
• 4.1.5 拟极小残值法
• 4.1.6 稳定双共轭梯度法
• 4.2 Krylov 子空间迭代法分析
• 4.2.1 迭代效率分析
• 4.2.2 Krylov 子空间迭代法优缺点综述
• 4.3 常用预条件技术
• 4.3.1 雅可比预条件
• 4.3.2 不完全分解预条件
• 4.3.3 近似稀疏逆预条件
• 4.3.4 近场预条件
• 4.4 迭代停止准则
• 4.5 数值实验
• 4.6 本章小结
• 第5章 三维弹性摩擦接触Taylor 级数多极边界元法
• 5.1 弹性接触理论
• 5.2 弹性接触问题基本方程
• 5.2.1 弹性接触问题边界积分方程
• 5.2.2 点—面接触约束方程
• 5.3 接触与摩擦的处理
• 5.3.1 接触问题描述
• 5.3.2 点—面接触模型
• 5.3.3 接触问题的Taylor 级数多极展开实现方法
• 5.4 摩擦问题数学规划迭代求解方案
• 5.4.1 点—面摩擦接触数学规划
• 5.4.2 迭代求解与计算流程
• 5.4.3 提高求解精度的方法及措施
• 5.5 数值算例
• 5.5.1 平冲头受压
• 5.5.2 圆柱与长方体接触
• 5.6 HC 轧机辊间接触与变形分析
• 5.6.1 HC 轧机简介
• 5.6.2 计算模型及参数
• 5.6.3 计算结果与分析
• 5.7 本章小结
• 结论
• 附录1 三维弹性Taylor 级数多极边界元法矢量化公式
• 附录2 Krylov 子空间迭代法
• 参考文献
• 攻读博士学位期间承担的科研任务与主要成果
• 致谢
• 作者简介