论文摘要
分类问题或寻找不变量问题一直是数学研究所关注的重要课题之一．上世纪70年代，G．Elliott最早提出对于AF代数A而言其K0群，半群及单位元组成的对（K0（A），V（A），[1A]）（称为Elliott不变量）是其完全相似不变量．Elliott不变量在分类领域中尤其是C*代数的分类有着举足轻重的作用．本文的主要工作是它在复几何方向的应用和对一类具体的C*代数-AI代数的分类问题的研究．论文主要分为两部分，第一部分是关于全纯曲线的相似分类问题；第二部分是具有理想性质的AI代数的分类问题．两部分工作的共同点是都利用了Elliott不变量作为分类研究的不变量．关于全纯曲线的分类问题最早于1978年几何学家M．J．Cowen和算子理论家R．G．Douglas提出，他们综合利用复几何和算子理论的知识和技巧在全纯复丛上建立了Clabi刚性定理并定义了一种曲率函数．这种曲率函数被证明是全纯曲线的酉不变量．一个自然的问题就是什么是全纯曲线的相似不变量，M．J．Cowen和R．G．Douglas猜测对于一维的全纯曲线该曲率函数也应是其相似不变量．但是，后来人们通过反例证明他们的猜测并不合理．本文的第一部分通过给出全纯曲线的换位代数的概念，证明了全纯曲线的换位代数的K0群和序群（Elliott不变量）是一维全纯曲线与大部分高维曲线的的完全相似不变量．众所周知，仿紧流行X上的向量丛上的Swan定理证明了M∞（C（X））中两个投影等价当且仅当它们诱导的X上的向量丛同构．继而证明了X上的向量丛的同构类与M∞（C（X））上投影的代数等价类相一致，从而建立了代数K理论与拓扑K理论之间的联系．但是在复几何中对全纯复丛而言，相应的Swan定理并不存在．本文的分类定理把两个全纯曲线f，g的相似性问题和f（?）g换位的K0群的计算密切相连，从这种意义上讲建立了全纯复丛的Swan定理．文章第二部分是属于C*代数分类的研究，近似区间代数A（approximateinterval algebra简称AI代数）是C[0，1]上的矩阵代数有限和的归纳极限，i．e．A=lim（?） An(An=（?）M[n,i]（C[0,1]]）)．1991年，G．Elliott利用K0群和迹态空间（Elliott不变量）有单位元的单的AI代数进行了分类．1995年，KennethH．Stevens推广了G．Elliott的结果．但是他考虑的只是有单位元的近似可分的具有理想性质的AI代数（每个双边的闭理想都由其投影生成）．在本文的第二部分我们去掉了Stevens文章中有单位元和近似可分的条件，而且证明方法与Stevens的方法完全不同．在他的证明里，Stevens引进了许多依赖于[0,1]区间的概念，这些概念无法推广到高维情形．在本文中，我们证明的dichotomy定理可以避免使用Stevens文章中技巧和概念并且可以推广到高维情形．Dichotomy定理得到证明后，许多代数是单的情况下的技巧就可以在非单的情况下得到应用．所以，这种新的方法对将来AH代数的彻底分类必将有很大的帮助．