两类系统的向后误差及条件数

论文摘要

向后误差和条件数是数值代数的两个基本概念,前者反映了算法的向后稳定性。后者刻画了问题的计算解关于原始数据小扰动的敏感性,而二者结合则可以估计计算解的精度:在一阶近似下,有 计算解的误差≤条件数×向后误差。数学问题有有无结构之分,相应地,数值方法也有一般算法与结构算法之分。对应地,为了分析计算解的精度,条件数也有普通条件数与结构条件数之分,向后误差也有类似区分。 本文研究了Cauchy系统的结构向后误差及结构条件数和Hermite特征值问题的向后误差分析。 Cauchy系统是一类结构线性方程组。文中定义出了Cauchy系统的结构向后误差及结构条件数,因为Cauchy阵关于参数的非线性特征,求出结构向后误差的显示表达式并非易事。因此利用不动点定理及奇异值分解对结构向后误差的上下界进行了估计。还研究了系统结构对向后误差及条件数的影响,并通过数值例子对所得理论结果进行了说明。 另一部分则研究了三类Hermite特征值问题的结构向后误差分析,即广义特征值,矩阵多项式特征值和多参数特征值问题。分别给出了这三类系统结构向后误差的定义,并给出了它们的显示表达式。还研究了结构化要求对向后误差的影响,通过求得有无结构向后误差之间的比值反映它们之间的关系。并通过数值试验加以印证。

论文目录

• 1 引言
• 2 Cauchy系统的向后误差与条件数
• 2.1 向后误差的上界估计
• 2.2 向后误差的下界估计
• 2.3 结构条件数
• 2.4 有结构向后误差及条件数同无结构向后误差及条件数的比较
• 2.5 数值算例
• 3 Hermite特征值问题的向后误差
• 3.1 结构向后误差
• 3.1.1 广义特征值问题
• 3.1.2 Hermite矩阵多项式特征值问题
• 3.1.3 多参数特征值问题
• 3.2 无结构向后误差及结构要求对向后误差的影响
• 3.2.1 无结构向后误差
• 3.2.2 数值实验
• 4 致谢
• 5 参考文献