基本超几何级数的算子方法、Cauchy方法与反演技巧

论文摘要

基本超几何级数,又称q-级数,在组合分析、特殊函数以及数论等领域起着重要而又特殊的作用,并且广泛地应用于统计学理论和物理等方面。本文的主要内容是利用修正的Cauchy方法、算子方法和组合反演技巧来发现和证明一些基本超几何级数求和公式和变换公式,其中包含一些著名的公式,如q-Saalschüz求和公式、Bailey的6ψ6求和公式和非终止的Watson变换公式等作为其特殊情况。本文共分四章。第一章首先回顾超几何级数与基本超几何发展的历史,然后引进一些必要的概念和记号。第二章讨论Cauchy方法的应用。通过对Cauchy方法的推广,我们得到修正的Cauchy方法,采用这个方法分别得到两个双边的3ψ3和4ψ4基本超几何级数的求和公式、单边3φ<sup>2-级数和双边3ψ3-级数的两个四项求和变换公式和两个五项求和变换公式,它们包括许多已有的结果为特例,如非终止的q-Saalschütz求和公式、Bailey的very-well-poised双边级数6ψ6求和公式、非终止的Watson变换公式和一些关于单边3φ2-级数的变换公式等。第三章采用算子方法研究基本超几何级数。我们推广了两个q-积分形式的变换公式和两个有关基本超几何级数的恒等式,还得到q-Pfaff-Saalschütz公式、q-Chu-Vandermonde恒等式和基本超几何级数中一个有关3φ2-级数的三项变换公式等的形式推广。第四章结合反演技巧和级数重排的方法研究基本超几何级数。我们发现了两类新的基本超几何级数求和变换公式,其中一类的特殊情况包含在q-Dougall的求和公式中,另一类的特殊情况是著名的Rogers-Ramanujan恒等式。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 历史背景
• 1.2 基本超几何级数的基本定义和符号
• 2 Cauchy方法与基本超几何级数恒等式
• 3ψ₃和₄ψ₄双边基本超几何级数求和公式'>2.1 两个新的有关₃ψ₃和₄ψ₄双边基本超几何级数求和公式
• 3ψ₃双边基本超几何级数求和公式'>2.1.1₃ψ₃双边基本超几何级数求和公式
• 4ψ₄双边基本超几何级数求和公式'>2.1.2₄ψ₄双边基本超几何级数求和公式
• 3φ₂和级数₃ψ_四项求和变换公式'>2.2 有关级数₃φ₂和级数₃ψ_四项求和变换公式
• 2.2.1 定理2.3的证明
• 2.2.2 定理2.3的推论
• 3φ_2^-级数和₃ψ_3^-级数的五项求和变换公式'>2.3 两个有关₃φ_2^-级数和₃ψ_3^-级数的五项求和变换公式
• 3φ_2^-级数和₃ψ_3^-级数的五项求和变换公式'>2.3.1 一个有关₃φ_2^-级数和₃ψ_3^-级数的五项求和变换公式
• 3φ_2^-级数和₃ψ_3^-级数的另一个五项求和变换公式'>2.3.2 有关₃φ_2^-级数和₃ψ_3^-级数的另一个五项求和变换公式
• 3 算子方法与基本超几何级数恒等式
• 3.1 几个常用的算子
• -积分形式的Sears变换公式和Gasper的q^-积分公式的推广'>3.2 有关q^-积分形式的Sears变换公式和Gasper的q^-积分公式的推广
• -积分形式的Sears变换公式的推广'>3.2.1 q^-积分形式的Sears变换公式的推广
• -积分公式的推广'>3.2.2 Gasper q^-积分公式的推广
• 3.3 两个有关基本超几何级数恒等式的推广
• 3.3.1 Alladi恒等式的推广
• 2φ_1^-级数恒等式的推广'>3.3.2 一个有关₂φ_1^-级数恒等式的推广
• 3.4 有关基本超几何级数的形式推广
• 3.4.1 q-Pfaff-Saalshcütz公式的形式推广
• 3.4.2 q-Chu-Vandermonde恒等式的形式推广
• 3φ₂级数的三项变换公式的形式推广'>3.4.3 基本超几何级数中一个有关₃φ₂级数的三项变换公式的形式推广
• 4 反演技巧与基本超几何级数恒等式
• 4.1 反演技巧的基本公式
• 4.2 基本超几何级数的求和变换公式和Rogers-Ramanujan恒等式
• 4.2.1 求和变换公式与q-Dougall求和公式的特殊情况
• 4.2.2 另一个求和变换公式与Rogers-Ramaunjan恒等式
• 结论
• 参考文献
• 读博期间发表、完成论文情况
• 致谢