论文摘要
量子力学和相对论是二十世纪两项最伟大的科学成就.它们的创立和发展不仅导致了一系列重大技术发明,而且使得人们对客观世界的运动规律有了基本正确的革命性的理解.自上世纪九十年代以来,与量子理论相关联的量子计算机、量子信息、量子通讯等理论和技术更是得到了迅猛发展.然而要最终实现有价值的量子计算、量子通讯等,不仅在实用化中存在着巨大困难,而且有的困难甚至是原理性的.从一般原则上讲,这些困难的根源是量子力学的测量问题.经典的冯·诺伊曼测量理论是将每个测量看做一个Hilbert空间上的正交投影算子,从而将研究测量问题转化为研究Hilbert空间上的正交投影算子格.但此格仅能描述可精确测量的量子现象. 1994年, Foulis等人引进了用于描述不可精确测量现象的数学结构,即效应代数,这是量子理论的数学公理化问题的一个重大进展.众所周知,自从扎德创立不确定性数学即模糊数学以来,其思想和方法在计算机、人工智能、控制论等领域得到了重要应用.具有不精确性的效应代数理论有可能将模糊数学与量子理论统一起来.鉴于拓扑理论在计算机科学、逻辑推理、Domain理论中的基础性和核心性作用,本文研究了效应代数的几类典型内蕴拓扑的若干性质及运算连续性问题,主要工作包括如下几方面:1.在格效应代数中,关于效应代数运算⊕和在区间拓扑下的一元连续性已经得到证明,而⊕和的二元连续性及格运算∧和∨的连续性是否成立仍未知.我们给出例子说明在区间拓扑下效应代数运算⊕的二元连续性不成立,格运算的一元连续性也不成立.本文通过对网在区间拓扑下收敛的刻划,证明了在格效应代数框架下⊕和满足二元连续性的必要条件是其上的区间拓扑是Hausdorff拓扑.同时,给出了效应代数运算和格运算满足二元连续性的充分条件.在第二章的最后,证明了标度效应代数上区间拓扑是Hausdorff拓扑,运算⊕和关于区间拓扑是二元连续的.2.在效应代数E中,网的序收敛与序拓扑收敛是两个不同概念,当两者一致且E序-连续时,该效应代数称为是序-拓扑的.本文得到,在完备的原子格效应代数E中,下面条件等价: （1） E序-连续, （2） E是序-拓扑的, （3）E是完全序不连通的拓扑格, （4） E是代数的.该结论不但从代数观点,更从拓扑角度说明了原子的格效应代数的性质比一般格效应代数要好得多.此结果将Erne等人的工作从正交模格提升到格效应代数上.同时,本文改进了标度效应代数在序拓扑意义下的一个基本矩阵定理,扩大了该定理的应用范围.关于格效应代数运算在序拓扑下的一元连续性已经得到证明,而二元连续性是否成立还没有结论.本文给出了在完备的序-连续格效应代数上,运算⊕满足二元连续性的必要条件是其上的序拓扑是Hausdorff拓扑,并举例说明了即使在完备的布尔代数上,⊕在序拓扑下也不满足二元连续性.同时,给出了一系列使得运算⊕和满足二元连续性的充分条件.标准算子效应代数是效应代数的典型代表,在量子力学中有重要应用,效应代数一词正是来源于此.标准算子效应代数上的弱算子拓扑和强算子拓扑都是及其重要的拓扑,研究它们和内蕴拓扑的关系是一个有趣的重要内容.本章最后研究了标准算子效应代数上的区间拓扑、序拓扑、弱算子拓扑及强算子拓扑之间的关系,得到如下结果:设WOT和SOT分别是标准算子效应代数E（H）上的相对弱算子拓扑和相对强算子拓扑,τi和τo分别是E（H）上的区间拓扑和序拓扑,则τi≤WOT≤SOT≤τo.3. Frink理想拓扑是偏序集理论中一类重要的内蕴拓扑.特别地, Frink指出它是链上及有限链乘积上的一类恰当拓扑.但由于其定义的抽象性, Frink理想拓扑在效应代数上的研究远没有区间拓扑和序拓扑一样广泛、深入,甚至关于⊕和的一元连续性也没有得到证明.本文在分配格效应代数上研究了Frink理想拓扑下的运算连续性问题,通过对完全不可约理想和对偶理想的一个直观刻划,用非常巧妙的方法证明了运算∧和∨的二元连续性及、⊕和的一元连续性.本结果蕴含了在布尔代数上,效应代数运算⊕和在Frink理想拓扑下满足二元连续性,而本文分别举例说明了此结论对于区间拓扑和序拓扑都不成立.因此,我们有理由相信,在效应代数理论中, Frink理想拓扑是比区间拓扑和序拓扑更为合适的拓扑.偏序集的Frink理想拓扑之Hausdodrff性是一个有趣而困难的问题,引起了众多学者的广泛兴趣.本文给出了格效应代数上Frink理想拓扑是Hausdodrff拓扑的一个充分条件.关于序拓扑和Frink理想拓扑的关系,本文证明了如下结论:设E是完备的原子分配格效应代数,则Frink理想拓扑强于序拓扑,并且下列条件等价: （1） Frink理想拓扑与序拓扑相同, （2） 1是有限元, （3） E中每个元都是有限元, （4） Frink理想拓扑与序拓扑都是离散拓扑.
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