含吸收项或源Newton渗流方程解的复杂渐近行为

论文摘要

本文考虑含吸收项或含源Newton渗流方程的Cauchy问题其中m>1,p>m,+2/N,α是常数.我们的目的在于研究解的渐近行为,特别是解的复杂渐近行为.全文共分五章,第一章是绪论部分,第二到第四章分别讨论不含吸收项与源,含吸收项以及含源三种不同的情形,第五章是结论部分.发展方程Cauchy问题解的复杂渐近行为的研究是近年来在国际上才出现的热点课题.2002年,Vazquez与Zuazua等人在纪念J.L.Lions所发表的一篇学术论文中首次发现解的复杂渐近行为这种现象Cazenave. Dickstein与Weissler等人在2003到2007年之间利用解的显式表达式与线性性等性质,研究了线性方程的典型即热方程的rescaled解tμ/2u（tβx,t）按最大模的复杂渐近行为.我们在第二章首先得到了当初值属于空间L1（RN）或空间L∞（RN）时,Newton渗流方程Cauchy |问题的解支集的传播速度估计,再利用Scaling算子与Newton渗流半群算子的某种交换关系等性质,研究了典型的非线性方程即Newton渗流方程的rescaled解tμ/2u（tβx,t）按最大模的复杂渐近行为.Vazquez等人在2002年的文章中利用尺度不变性,发展方程所生成的半群算子的正则性与连续性等性质,得到了热方程,Newton渗流方程等发展方程的Cauchy问题的解在Lloc∞（RN）范数下的渐近行为与初值在空间L∞（RN）中的空间渐近行为具有某种等价关系.后来,Cazenave, Dickstein与Weissler等人发现热方程Cauchy问题的解在L∞（RN）范数下的渐近行为与初值在空间Wσ（RN）中的空间渐近行为也具有这种等价关系.我们在第三章中发现不含吸收项与源,含吸收项的Newton渗流方程Cauchy问题的解在L∞（RN）范数下的渐近行为与初值在空间Wσ（RN）中的空间渐近行为也具有相类似的等价关系.为此,我们需要当初值属于空间Wσ（RN）时,Newton渗流方程解的衰减估计及解支集的传播速度估计.进而,作为一个重要的应用,我们发现Alikakos.Rostamian,Kamin与Peletier等人早在上世纪八,九十年代就得到的关于上述两种情形的解的渐近行为在锥{x∈RN；|x|≤Ct（?）/σ（m-1）+2}上成立的结论实际上在全空间RN中也是成立的.在本文的第四章,我们首先得到了含源Newton渗流方程的Cauchy问题解的整体存在性及衰减估计,然后据此去研究其解的复杂渐近行为.作为一个直接的应用,我们非常简单的证明了当初值u0∈Bη（M）σ,+时,非线性源在解的渐近行为中的作用可以忽略不计这个本世纪初才被Mukai与Mochizuki等人得到的结果.

论文目录

• 中文摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
• 第2章 Newton渗流方程解的复杂渐近行为
• 2.1 引言
• 2.2 关于解的一些性质与估计
• 2.2.1 预备知识
• 2.2.2 Scaling算子与半群算子
• 2.2.3 解支集的传播速度估计
• 2.3 解的复杂渐近行为
• 2.3.1 超临界情形
• 2.3.2 临界情形
• 2.4 解复杂渐近行为不发生的情形
• 第3章 含吸收项Newton渗流方程解的复杂渐近行为
• 3.1 引言
• σ（R^N）空间与Newton渗流半群'>3.2 W_σ（R^N）空间与Newton渗流半群
• σ（R^N）空间'>3.2.1 W_σ（R^N）空间
• 3.2.2 α=0时解的衰减估计
• 3.2.3 Newton渗流半群的连续性
• 3.3 解的复杂渐近行为
• 3.3.1 与不含吸收项解之间的关系
• 3.3.2 初值渐近行为的复杂性
• 3.3.3 简单与复杂渐近行为
• 第4章 含源Newton渗流方程解的复杂渐近行为
• 4.1 引言
• 4.2 解的衰减估计
• 4.2.1 不含源解的进一步衰减估计
• 4.2.2 整体解与解的衰减估计
• 4.3 解的复杂渐近行为
• 4.3.1 与不含源解之间的关系
• 4.3.2 一个具体的例子
• 4.3.3 复杂渐近行为
• 第5章 结论
• 参考文献
• 作者简介及科研成果
• 致谢