非Lipschitz系数的随机Volterra型积分方程和多值随机发展方程

论文摘要

在非线性微分方程和积分方程的研究中,一般来说无法得到方程解的解析表达式,这时只能对它们进行定性分析或者通过数值方法寻找近似解;而为了使得这些讨论有效、有意义,很多情况下都需要首先做出解的存在唯一性的判定。这反映在随机微分方程绝大部分的工作中,则是要求方程系数满足Lipschitz条件或局部Lipschitz加线性增长条件。如果能在更弱的条件下建立随机方程的解的存在唯一性,无疑具有重大的理论意义。这方面最熟知的结果是Yamada和Watanabe于1971年在一类非Lipschitz条件下得到的。最近几年,一些学者通过随机同胚流、大偏差、连续模、Eulur逼近等多方面对非Lipschitz条件下的随机微分方程进行研究,并得到一系列重要结果。相对于随机微分方程的广泛讨论,随机积分方程的研究就显得滞后很多。本文将在某些给定的非Lipschitz条件下,依次讨论（正向）随机Volterra型积分方程,倒向随机Volterra型积分方程（包括带跳情况和无穷维情况）,多值随机发展方程。我们重点考察这几类随机方程解的存在性、唯一性,在某些地方还给出了正则性结果;这些结论将为进一步研究打下基础。主要方法和工具:（1）类似常微分方程理论,论文中关于存在性的结论都是利用Picard迭代得到的;特别是在倒向随机方程中,由于作为解的过程较多,迭代程序需反复使用:由简入繁,步步为营,最终得到结论。（2）为了在随机环境下得到Volterra型方程的连续性,Kolmogorov连续性准则将起到非常关键的作用。（3）作为Gronwall不等式的推广,Bihari不等式在处理具有非Lipschitz系数的方程时不可或缺;同时应当注意,非Lipschitz条件中所涉及的控制函数总是满足凹性和某种零点处的不可积性:凹性是为了利用Jensen不等式;零点处的不可积性使得Bihari不等式与常微分方程中的比较定理结合在一起从而完成很多结论的证明。（4）Burkholder-Davis-Gundy不等式和H（o|¨）lder不等式在论文中将频繁用到,是我们证明的重要工具。主要结论:（1）关于具有奇异核的随机Volterra型积分方程,我们首次在非Lipschitz条件下进行研究,得到解的存在唯一性和H（o|¨）lder连续性（此处证明的一个关键步骤应用了推广的Minkowski不等式）。然后,将Bihari不等式推广至具有分式积分核的情形,利用新的不等式对具有特殊积分核的方程条件做了进一步减弱,建立了相应的存在唯一性和正则性结论。（2）关于倒向随机Volterra型方程,在系数满足Lipschitz条件时,已有学者研究过,但我们注意到其中的证明并不完善。本文通过选取一个适当的函数并灵活应用It（?）公式,即可避免使用之前的倒向平移、分段递推思想,从而解决这一问题。论文将原有结果推广至非Lipschitz条件和带跳情形（由Brown运动和Poisson过程共同驱动）;之后,对于仅由Brown运动驱动的这种方程,通过非常细致地迭代分析而得到解的连续性结果。（3）在无穷维空间中研究倒向随机Volterra型方程也是有着重要意义的,论文利用与第二部分相同的思路将前面的结果推广到无穷维中,在非Lipschitz条件下对由柱Brown运动驱动的这种方程建立了解的存在唯一性。（4）极大单调多值算子理论已经在非线性偏微分方程的研究中占据重要地位,而几年前关于极大单调多值算子方程得到的某种有意思的结果启发一些学者将其放在发展三元组的框架下进行考虑。关于多值随机发展方程的存在唯一性结论已经被证明,论文的最后一部分则将其推广到非Lipschitz系数情形。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 引言
• 一、具有奇异核的随机Volterra型积分方程
• 1.1 研究背景:积分方程和随机分析
• 1.2 随机Volterra型积分方程的研究进展
• 1.3 解的存在唯一性和连续性
• 1.4 推广到p=2的情形
• 1.5 应用到具有分式积分的方程中
• 1.6 具有分数次Brown运动积分核的方程
• 1.7 结束语
• 二、倒向随机Volterra型积分方程
• 2.1 研究背景
• 2.2 倒向随机Volterra积分方程
• 2.3 Poisson点过程的随机分析简介
• 2.4 带跳的倒向随机Volterra积分方程
• 2.5 不带跳方程的解的连续性
• 2.6 结束语
• 三、无穷维空间上的倒向随机Volterra方程
• 3.1 Hilbert空间上的随机分析简介
• 3.2 方程的解的存在唯一性
• 3.3 主要结论的证明
• 3.4 结束语
• 四、多值随机发展方程
• 4.1 研究背景
• 4.2 极大单调算子和发展三元组
• 4.3 多值随机发展方程及主要结论
• 4.4 几个重要的已知结论
• 4.5 主要结论的证明
• 4.6 结束语
• 致谢
• 参考文献
• 附录 攻读博士学位期间发表论文目录