非线性方程组边值问题的解及其应用

论文摘要

近代物理学和应用数学的发展要求分析和控制客观现象的数学能力向着富有全局性的高，精水平发展，从而使非线性分析成果不断积累，逐步形成了现代分析数学的一个重要的分支学科—非线性泛函分析。它在分析数学方面成为目前最热门的领域之一，其中有关奇异微分方程边值问题正解的存在性近年来得到了广泛的研究。本文利用锥理论，不动点理论，Krasnosel’skii不动点定理等研究了几类微分方程组奇异边值问题解的情况，得到了一些新成果。根据内容本文分为以下三章：第一章利用一个特殊的泛函空间上的关于锥的Krasnosel’skii-Guo拉伸压缩定理以及上下解方法，研究了二阶奇异微分方程组（?）在边值条件（?）下解的存在性，无解，一个解以及多解的存在性定理。其中α，β，γ，δ≥0；f，g：[0，1]×[0，∞)4→[0，∞)是连续的；φ，Φ：（0，1）→[0，∞)连续，且它们允许在t=0或者t=1处具有奇异性。第二章利用算子L2u=u″-2au′+（a2+b2）u在周期边值条件下一个新的最大值原理和锥上的一个不动点定理研究了下列奇异二阶微分方程组正周期解的存在性（?）其中λ≥0；a∈R，b∈（0，π）；φ1，φ2：（0，1）→[0，+∞)是连续的，即φ1，φ2允许在t=0，t=1处奇异；f1（t，u，v）：[0，1]×（0，+∞）×[0，+∞)→（0，+∞），f2（t，u，v）：[0，1]×[0，+∞)×（0，+∞）→[0，+∞)是连续函数，且f1和f2分别在u=0和v=0处奇异。并获得了当特征值λ在某一范围内取值时，周期边值问题（2．1．1）至少存在一个正解的结果。第三章通过建立特殊的锥，利用不动点指数理论研究了下面的非线性微分方程组半正奇异边值问题（?）其中λ＞0是参数；f1：（0，1）×（0，∞）×[0，∞)→R，f2：（0，1）×[0，∞)×（0，∞）→R都是连续的，即f1允许在t=0，t=1和u=0处奇异，f2允许在t=0，t=1和v=0处奇异。我们找到一个λ0＞0，使得方程组（3．1．1）在0＜λ＜λ0时至少有一个正解。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 含参数的奇异方程组的正解
• §1.1 引言
• §1.2 预备知识
• §1.3 主要结果
• 第二章 二阶微分方程组奇异边值问题的正解
• §2.1 引言
• §2.2 预备知识
• §2.3 主要结果
• 第三章 半正奇异微分方程组边值问题的正解
• §3.1 引言
• §3.2 预备知识
• §3.3 主要结果
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表和完成的主要学术论文
• 致谢