论文摘要
在科学和工程的各个领域中，许多问题都可用非线性方程来描述。而获得非线性方程的解（数值解和精确解）将有助于人们展开对它所反映的现实自然现象进行分析和研究。所以，本文在非线性方程求解方面进行了如下的研究。 首先对崔明根教授于1986年提出的再生核空间进行了研究。利用一维再生核空间的直积形式构造了二维再生核空间，获得了二维空间中再生核函数的表达式，并将其推广到多维再生核空间的构造。从而为求解各种方程建立了空间的理论框架。 其次，在再生核空间W21[a，b]中，给出了非线性算子方程A1（vBv）+A2v=f的精确解。利用再生核函数的特殊性质和升元的方法，构造了定义在再生核空间W1（Ω）上的有界线性算子，使得非线性算子方程等价的转化为线性算子方程Tu=f当线性算子方程解唯一的情况下，获得了非线性方程解的精确表述。数值算例验证了该算法的有效性。 将上面的结论推广，本文在二维再生核空W2（Ω）中，研究了Av2+Kv+Pv+Ev=f型的非线性积分微分方程。同样将其转化为四维再生核空间中的线性算子方程进行求解。当线性方程解不唯一时，本文研究了该线性方程的齐次方程解空间的表示，并给出了其上的一组标准正交基。因此获得了线性方程的全部解。再利用两个方程解之间的关系，得到了求解非线性方程近似解的数值算法。数值试验模拟验证了算法的有效性。 另外，以实际问题-黑体辐射为例证明，对于第一类Fredholm积分方程，当积分核函数满足一定条件时，该不适定问题在再生核空间中已经变为适定问题求解。同时在再生核空间W21[a，b]中给出了一种求解该问题的稳定数值算法。对实际数据用该算法进行数值模拟，并与以前的工作相比较，得到了较好的结果。 最后，在再生核空间中，本文对非线性偏微分方程进行了研究。考虑了一类非线性双曲型偏微分方程。先将方程两边积分降低求解空间的要求，再利用初始条件线性化方程进而获得非线性方程的一组形式解。注意到使用再生核函数构造的空间基底函数具有分离形式，从而得到确定非线性方程近似解的数值算法。进行数值实验后，计算结果表明算法是有效的。 本文还在再生核空间中考虑了一类非线性发展方程。利用其初始条件构造线性算子，并通过求解线性方程获得原来非线性方程的形式解，将其带入原方程，使余项函数在再生核空间范数意义下达到最小，进而获得非线性方程的数
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标签：再生核空间论文; 非线性算子方程论文; 不适定论文; 非线性偏微分方程论文;