论文摘要
在实际问题中，我们研究的随机变量序列通常是不独立的，随机变量序列之间总是存在这样或那样的相依性。因此相依随机变量序列的理论研究引起广泛关注。正相伴（简称PA）与鞅差随机变量序列都是非独立随机变量的重要情形。1967，Esary等人首先提出了PA随机变量序列的概念，之后人们发现其在可靠性理论和渗流性模型等重要领域中有许多应用。而鞅差是独立随机变量的自然推广，是由Ville（1939）首先提出的，其概念具有很强的直观背景，在理论和应用中有重要的意义。1924年，Khintchine为了研究大数律的收敛速度，首先提出了重对数律，他的结果后来被Kolmogorov（1929）等人所推广。精确渐近性是随机变量加权级数性质的拓广研究，Gut等人在这个方向上做了很多贡献，本文在一定的条件下把Gut和Sp（?）taru的结果推广到PA与鞅差序列的情形。全文主要分为三章：第一章介绍了本文的研究背景，给出了几个重要的相关引理，其中包括引理1．2．3我们有（?）ε2（b+1）sum from n＞b（ε；M）（?）（loglogn）b／nlogn P(（?）|W（s）|≥（ε+an）（2loglogn）1／2)=0对充分小的ε＞0一致成立。引理1．2．6令b′（ε；M）=b（1／ε；M），我们有（?）ε-2（b+1）sum from n＞b′（ε；M）（?）（loglogn）b／nlogn P(（?）|W（s）|≤ε（1／loglogn）1／2=0对充分大的ε＞0一致成立。第二章考虑PA序列重对数律的精确渐近性。第一节介绍了关于PA的一些结果。利用这些结论，第二、三节给出本章的结论以及证明过程，在一定的条件下把Gut和Sp（?）taru的结果推广到PA的情形。其结论是：定理2．2．1设an=O（1／loglogn）。对任何b＞-1，r=2（b+2）及某δ＞0有u（n）=O(n-（r-2）（r+δ）／（2δ）)，我们有（?）ε2（b+1）sum from n=1 to∞（loglogn）b／nlogn P(Mn≥（ε+an）σ（2nloglogn）1／2=2／（b+1）π1／2Γ（b+3／2）sum from k=0 to∞（-1）k／（2k+1）2b+2和（?）ε2（b+1） sum from n=1 to∞（loglogn）b／nlogn P(|Sn|≥（ε+an）σ（2nloglogn）1／2=1／（b+1）π1／2Γ（b+3／2），其中Γ（·）为Gamma函数。定理2．2．2对任意b＞-1，我们有（?）ε-2（b+1）sum from n=1 to∞（loglogn）b／nlogn P(Mn≤εσ（π2n／8loglogn）1／2=4／πΓ（b+1）sum from k=0 to∞（-1）k／（2k+1）2b+3。第三章考虑鞅差序列重对数律的精确渐近性。第一节介绍了关于鞅差的一些结果。利用这些结论，第二、三节给出本章的结论以及证明过程，在一定的条件下把Gut和sp（?）taru的结果推广到鞅差的情形。其结论是：定理3．2．1设an=O（1／loglogn）。对任何b＞-1，若∑i=nnXi2／nσ2（?）1我们有（?）ε2（b+1）sum from n=1 to∞（loglogn）b／nlogn P(Mn≥（ε+an）σ（2nloglogn）1／2=2／（b+1）π1／2Γ（b+3／2）sum from k=0 to∞（-1）k／（2k+1）2b+2和（?）ε2（b+1）sum from n=1 to∞（loglogn）b／nlogn P(|Sn|≥（ε+an）σ（2nloglogn）1／2=1／（b+1）π1／2Γ（b+3／2），其中Γ（·）为Gamma函数。定理3．2．2对任意b＞-1，若∑i=nnXi2／nσ2（?）1我们有（?）ε-2（b+1）sum from n=1 to∞（loglogn）b／nlongn p(Mn≤εσ（π2n／8loglogn）1／2=4／πΓ（b+1）sum from k=0 to∞（-1）k／（2k+1）2b+3。