单种群模型的分支问题

论文摘要

微分方程所描述的种群模型广泛地来源于人口统计学、生态学和传染病学等学科。通过研究分支问题来分析它们的动力学性质是微分方程和生物数学领域中一个非常重要的课题。分支问题的研究对象是结构不稳定系统,即当参数变化并经过某些临界值时,方程解的拓扑结构发生“突变”。对种群模型的分支问题的研究可以帮助了解某些参数（如生物的生存空间和成熟期等）对种群动力学的影响（如以平衡的状态生存或产生突然的振荡）,进而可以使得物种朝着人类所期望的方向演化。同时,通过对具体的种群模型的研究往往能发现一些有趣的现象,甚至可能推动微分方程理论的发展。本文研究具齐次-Dirichlet边界条件的时滞反应扩散种群模型和具非线性边界条件的一阶偏微分种群模型的分支问题。首先,研究了一个具扩散和齐次-Dirichlet边界条件的时滞果蝇模型。使用平面动力系统轨道分析的方法证明了具零-Dirichlet边界条件的模型的稳态分支的存在性和一个特殊的正-Dirichlet边界条件下的模型正解的存在唯一性;并且发现了在正-Dirichlet边界条件下扩散会使模型变得更稳定。同时,使用中心流形定理和规范型方法得到了具正-Dirichlet边界条件的模型的Hopf分支的存在性、分支方向和分支周期解的稳定性。其次,研究了一类单位增长率只与种群的历史密度有关的（包括logistic型和弱Allee型）具零-Dirichlet边界条件的时滞反应扩散种群模型。定义了前向（后向）Hopf分支,并分别对具前向稳态分支的logistic型模型和具后向稳态分支的弱Allee型模型用Liapunov-Schmidt方法以时滞为参数证明了空间非齐次平衡解附近的前向Hopf分支的存在性。再次,研究了一个单位增长率既依赖于种群历史密度又与当前密度有关的具零-Dirichlet边界条件的时滞反应扩散种群模型。以生物的成熟期（时滞）为参数使用中心流形定理和规范型方法得到了当历史密度对单位增长率的影响大于当前密度时空间非齐次平衡解附近的Hopf分支的存在性,分支方向和分支周期解的稳定性;同时,构造一对上下解,证明了模型周期解的一致有界性,进而应用全局Hopf分支定理得到了局部Hopf分支的全局延拓结果。最后,研究了一个具年龄结构的疟疾模型。使用具年龄结构模型的Hopf分支定理,证明了当疟原虫的最大复制率接近一个临界值时,模型出现由Hopf分支产生的周期解,这表明疟原虫进入血红细胞和被血红细胞释放都是几乎同步的。给出了计算最大复制率的临界值的方法,并发现了使得同步现象出现的爆破率和最大复制率临界值的某些必然联系:即当爆破率比较大时,复制率的临界值是比较小的。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 插图
• 第1章 绪论
• 1.1 课题背景及意义
• 1.2 研究现状
• 1.3 本文的主要工作
• 第2章 具时滞和扩散的Nicholson 果蝇模型的分支分析
• 2.1 引言
• 2.2 正稳态分支
• 2.3 稳定性和Hopf 分支存在性
• 2.4 Hopf 分支的方向和分支周期解的稳定性
• 2.5 数值模拟
• 2.6 本章小结
• 第3章 一类具时滞和扩散的种群模型的稳定性和Hopf 分支
• 3.1 引言
• 3.2 特征值问题
• 3.3 稳态解的稳定性
• 3.4 Hopf 分支
• 3.5 弱Allee 型的种群模型的分支
• 3.6 全局动力学和例子
• 3.7 本章小结
• 第4章 一个时滞占优的种群模型的Hopf 分支
• 4.1 引言
• 4.2 特征方程分析和稳态解的稳定性
• 4.3 Hopf 分支方向和分支周期解的稳定性
• 4.4 周期解的全局存在性
• 4.5 数值模拟和分析
• 4.6 本章小结
• 第5章 疟疾在血细胞阶段的周期性和同步性
• 5.1 背景
• 5.2 预备结果
• 5.3 特征值问题
• 5.4 稳定性和Hopf 分支
• 5.5 数值模拟
• 5.6 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表的学术论文
• 致谢
• 个人简历