西罗定理的一个推广

论文摘要

本文讨论Sylow定理逆命题:给定素数p,是否对于任意的非负整数k,存在一个有限群恰有kp+1个p阶子群?本文所证明的就是,在一些特殊情况下定理的逆命题是成立的。利用群的扩张理论和数论的基础知识本文证明了当p=2时定理的逆命题是正确的,即对于2k+1 （k=0,1,2......）,存在群具恰有2k+1个2阶子群,这种群就是正2k+1,（k=0,1,2,...）边形的对称群D2k+1;当（?）=kp+1（n为正整数）时,逆命题是成立的,即存在pn阶的有限生成Abel群,使得它的p阶元素的个数恰好为（p-1）（kp+1）;当kp+1（p为奇素数）恰好为素数时,逆命题也成立,即总存在p（kp+1）阶的群,使得它恰好有（kp+1）个p阶子群,且不同子群的p阶元素不交换。本文也讨论了若一个群恰好有7个3阶子群,其中一个子群的3阶元素和另外子群的3阶元素是否交换的问题,但没有得出明确的结果,只是得出以下结论:1若存在群恰好有7个3阶子群,那么这些不同子群的3阶元素一定不都交换。2若存在群恰好有7个3阶子群,有4个子群的3阶元素互相交换,但没有另外的3阶元素与它们交换,这样的群是不存在的。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 引言
• 1 预备知识
• 1.1 群扩张理论相关知识
• 1.1.1 群的扩张
• 1.1.2 扩张函数
• 1.1.3 群的有限循环扩张
• 1.2 二项同余式定理
• 1.2.1 定理1
• 1.2.2 定理2
• 1.3 有限生成Abel群和群的直积
• 1.4 换位子群和可解群
• 1.5 图形的对称群
• 2 当（?）=kp+1时的情况
• 3 当p=2的情况
• 4 当p为奇素数,且kp+1为素数的情况
• 4.1 p（kp+1）阶群的构造
• 4.2 p阶元素的交换性
• 5 交换性的讨论
• 2b都不交换的情况'>5.1 c和a,b,ab,a²b都不交换的情况
• 2b其中任意2个元素交换的情况'>5.2 当c与a,b,ab,a²b其中任意2个元素交换的情况
• 2b其中的任意一个元素交换的情况'>5.3 当c只与a,b,ab,a²b其中的任意一个元素交换的情况
• 6 关于可解群的推广的Sylow定理
• 7 织积,对称群的Sylow子群
• 8 直积的Sylow子群
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表学术论文情况
• 致谢