论文摘要
本文中,我们主要研究了粗几何的一些问题.粗几何研究离散度量空间的大范围几何性质.在这一领域有粗Baum-Connes猜测、粗Novikov猜测、波雷尔猜测等一系列重要猜测Guentner-Tessera-Yu对度量空间给出了有限分解复杂度的概念,并且证明了具有有限分解复杂度和有界几何的度量空间具有性质A（详见[41]）,从而具有有限分解复杂度和有界几何的度量空间满足粗Baum-Connes猜测.于是对一个有限生成的群G（看作度量空间,赋予词度量）,如果G具有有限分解复杂度,则粗Baum-Connes猜测对G成立.另一方面,Thompson群F是几何群论中令人关注的研究对象Thompson群F的顺从性一直是人们感兴趣的公开问题.目前为止,我们还没有解决Thompson群的顺从性问题Rufus Willett在文献[69]中证明了所有的顺从群都具有性质A,因此考虑Thompson群是否具有性质A的问题也很有意义.另外,一个具有有限分解复杂度的有限生成的群G具有性质A,所以我们首先考虑Thompson群的有限分解复杂度.这有可能提供给我们一种方法来解决Thompson群的顺从性问题.本文主要研究Thompson群F的几何性质和有限分解复杂度的基本性质.首先有限生成群中子群的变形函数是几何群论中的热点问题.在本文中,我们利用约化森林图和约化树图这两个重要工具证明圈积F（?）Z和Z（?）Z是Thompson群F中拟等距嵌入的子群.然后我们考虑了一些具体度量空间的有限分解复杂度.例如,Thompson群F的一些子群.为了把有限分解复杂度这个性质定量化,利用可数序数定义具有有限分解复杂度的度量空间的“复杂度”.我们得到了Thompson群F的子群Z（?）Z的“复杂度”,即Z（?）Z∈Dω,其中ω是最小的可数无限序数.同时,我们证明了Thompson群F在赋予关于无限生成集{x0,x1,…xn,…}的词度量下不具备有限分解复杂度.最后我们还证明了Thompson群F赋予关于有限生成集{x0,x1}的词度量和某个线性群H赋予某个伪长度函数诱导的度量形成的度量空间之间存在一个单的李普西兹（Lipschitz）映射,但是这个映射不是适当（proper）的.
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