分形插值函数的δ－变差及级数表示

论文摘要

本文研究了分形插值这种拟合数据的新方法,对分形插值曲线的一些性质和表示作了研究。文章首先对分形理论的产生,发展过程及其基本内容作了介绍。其次,简单介绍了已有的关于分形插值曲线的研究成果,包括迭代函数系吸引子的存在唯一性,插值曲线的维数,插值算子的对参数的连续依赖性,稳定性。再次,由连续函数δ-变差的性质入手讨论了分形插值函数δ-变差的性质,并估计它的阶,用它来重新证明了分形插值曲线盒维数定理。由此得到了分形插值曲线盒维数定理另一种新的证明方法,这样就提出了计算和证明分形插值函数图像维数的一种新的思路,对于研究分形插值曲面的维数也有借鉴意义。最后,研究了一维分形插值函数的小波类型级数表示,并对一维和二维情况下的级数余项进行了估计,证明了它们都是趋近于零的。这样就得到了分形插值函数任意精度下的表示。由于分形插值函数是由迭代函数系生成的,目前这方面的研究大都局限于迭代函数系的构造,而对分形插值函数的精确表示和性质研究不多,所以分形插值函数的级数表示为分形插值函数的理论研究和实际计算开辟了新的途径。

论文目录

• 绪论
• 第一章 分形理论概述
• 1.1 分形理论的产生
• 1.2 分形的研究对象及其定义
• 1.3 分形理论的发展过程
• 1.4 分形的维数
• 1.5 分形的生成方法
• 1.6 常见的分形集合
• 1.7 当前分形理论研究的现状
• 第二章 分形插值函数的基本理论
• 2.1 迭代函数系
• 2.1.1 迭代函数系的基本概念
• 2.1.2 双曲迭代函数系的吸引子
• 2.2 分形插值曲线
• 2.2.1 基本概念
• 2.2.2 线性分形插值函数
• 2.2.3 分形插值曲线的维数
• 2.2.4 分形插值曲线的不定积分以及可微性
• 2.3 分形插值曲面
• 第三章 分形插值曲线的一些性质
• 3.1 分形插值函数对垂直比例因子的连续依赖性
• 3.2 分形插值曲线的插值稳定性
• 3.3 分形插值函数的光滑程度和HOlder连续性
• 3.4 本章小结
• 第四章 分形插值函数δ-变差的性质
• 4.1 δ-变差的概念及性质
• 4.1.1 基本概念
• 4.1.2 δ-变差的性质
• 4.2 分形插值函数δ-变差的性质
• 4.2.1 分形插值函数δ-变差的性质
• 4.2.2 分形插值函数δ-变差的性质的应用
• 4.3 本章小结
• 第五章 一维分形插值函数的级数表示及误差估计
• 5.1 一维分形插值函数的小波类型级数
• 5.2 小波类型级数的误差估计
• 5.2.1 误差估计
• 5.2.2 等号成立条件
• 5.3 本章小结
• 结束语
• 参考文献
• 致谢
• 在校期间发表论文