论文题目: 凸体几何极值问题
论文类型: 博士论文
论文专业: 运筹学与控制论
作者: 赵长健
导师: 冷岗松
关键词: 凸体,星体,交体,投影体,混合投影体的极
文献来源: 上海大学
发表年度: 2005
论文摘要: 本文利用几何分析中的凸体几何理论,积分变换方法和解析不等式理论,研究了凸体的等周问题和相关的不等式问题。首先,从以下几个方面作了重点研究:凸体的宽度积分和仿射表面积,凸体几何经典不等式的等价性,投影体和交体的各种极值性质,星体的对偶均值积分的极值问题,混合投影体的极体性质,投影体和交体的对偶均值积分差的极值问题以及混合投影体与混合交体神秘的对偶性质等。其次,重点研究解析不等式,像离散型和连续型Pachpatte不等式,Hilbert积分不等式,H（?）lder积分不等式,Bellman不等式,Minkowski积分不等式等并应用这些分析不等式建立了凸体几何中经典的Minkowski不等式,Brunn-Minkowski不等式和Aleksandrov-Fenchel不等式的极形式和对偶形式。这些内容作为几何分析一个十分活跃的前沿方向,广泛应用于数量经济学,随机几何学,体视学和信息理论等领域。 本文获得的主要结果: （1） 建立了混合投影体的极的Aleksandrov-Fenchel不等式,较完满的解决了美国著名数学家Lutwak自80年代以来,一直关注的一个凸体几何分析问题,实质性地推广了Lutwak关于混合投影体极的一些重要结果。 （2） 2004年,冷岗松教授在美国数学期刊Adv.Math.Appl.上,首次引进了凸体的均值积分差函数:若K,D∈κn且D（?）K,则凸体K和D的均值积分差函数定义为: Dwi（K,D）=Wi（K）-Wi（D）,（0≤i≤n-1）, 并且建立了凸体的均值积分差的Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式。 类似地,我们定义了一个新的相关概念—星体的对偶均值积分和函数:若K,D∈φn,则星体K和D的对偶均值积分和函数定义为: S（?）i（K,D）=（?）i（K）+（?）i（D）,（0≤i≤n-1）, 若i=0,则有Sv（K,D）=V（K）+V（D）,被称作星体K和D的对偶体积和函数。 进一步,建立了混合交体的“对偶均值积分和”的Minkowski不等式。它正是混合交体的Minkowski不等式经典形式的推广。另外,还获得了混合交体的Brunn-Minkowski不等式的加强形式。 （3） 引进了凸体“均值积分差函数”的对偶概念—凸体和星体的“对偶均值积分差函数”:令K和D分别为Rn中的凸体与星体。若D（?）K,我们定义凸体K与星体D的对偶均值积分函数: D（?）i（K,D）=Wi（K）-（?）i（D）,0≤i≤n-1。 从而,建立了凸体和星体的“对偶均值积分差”的Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式。作为方法的应用,获得了投影体和交体的“对偶均值积分差”的Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式。
论文目录:
摘要
Abstract
第一章 绪论
§1.1 课题来源
§1.2 国内外研究及应用现状
§1.3 本文研究目标和研究内容
§1.4 本文取得的代表性成果简介
第二章 对偶Brunn-Minkowski型不等式
§2.1 预备知识
§2.2 对偶Brunn-Minkowski型不等式的加强
§2.3 对偶Brunn-Minkowski型不等式的推广
§2.4 关于对偶均值积分的Brunn-Minkowski型不等式
第三章 凸体的宽度积分与仿射表面积
§3.1 引言
§3.2 准备工作
§3.3 凸体宽度积分的Brunn-Minkowski不等式的逆及应用
§3.4 仿射表面积的Brunn-Minkowski型不等式的改进
第四章 凸体的均值积分差函数及其对偶概念的引进
§4.1 凸体均值积分差的不等式
§4.2 对偶均值积分差函数概念的引进及相关结果的建立
§4.3 凸体和星体、投影体和交体的对偶均值积分差的不等式
§4.4 凸体体积差的Brunn-Minkowski不等式的等价形式
第五章 投影体与混合投影体的极
§5.1 准备工作
§5.2 混合投影体极的Aleksandrov-Fenchel不等式
§5.3 投影体的Brunn-Minkowski不等式的极形式
§5.4 混合投影体极的不等式的推广——均值积分形式
第六章 交体、混合交体与投影体、混合投影体的对偶性
§6.1 引言与准备工作
§6.2 引理
§6.3 混合交体与混合投影体的对偶性
§6.4 混合交体的Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式的改进
第七章 凸体几何中一些经典不等式的等价性
§7.1 Knesser-Suss不等式和Brunn-Minkowski不等式
§7.2 对偶Knesser-Suss不等式和对偶Brunn-Minkowski不等式
§7.3 Firey组合的Brunn-Minkowski不等式和p-均值积分的Minkowski不等式
§7.4 调和p-组合的对偶Brunn-Minkowski不等式和p-对偶Minkowski不等式
§7.5 仿射表面积的Brunn-Minkowski不等式和仿射表面积的Minkowski不等式
第八章 Aleksandrov-Fenchel不等式及其应用
§8.1 预备知识
§8.2 Aleksandrov-Fenchel不等式
§8.3 Bonnesen和Fenchel定理及Lutwak定理的推广
§8.4 关于投影体的极和仿射表面积的类似结果的建立
参考文献
致谢
发布时间: 2005-09-16
参考文献
- [1].凸体及星体的不等式与极值问题[D]. 李小燕.上海大学2004
- [2].几何分析中的极值问题与稳定性研究[D]. 何斌吾.上海大学2004
- [3].L_p-空间中凸体几何的极值问题[D]. 王卫东.上海大学2006
- [4].凸体的Brunn-Minkowski理论[D]. 袁俊.上海大学2007
- [5].凸体的极值问题[D]. 卢峰红.上海大学2006
- [6].一般测度下凸体的等周不等式及相关问题[D]. 武登辉.西南大学2017
- [7].影子系统在凸几何分析中的应用[D]. 杜昌敏.上海大学2015
- [8].关于非对称凸体的log-Minkowski不等式[D]. 王星星.西南大学2017
- [9].概率测度在凸几何分析中的应用[D]. 施柯杰.上海大学2016
- [10].L_p-空间理论中若干问题的研究[D]. 胡妍.上海大学2011
相关论文
- [1].L_p-空间中凸体几何的度量理论研究[D]. 朱先阳.上海大学2008
- [2].L_p空间中的凸体相关的不等式研究[D]. 沈亚军.上海大学2008
- [3].凸体及星体的不等式与极值问题[D]. 李小燕.上海大学2004
- [4].几何分析中的极值问题与稳定性研究[D]. 何斌吾.上海大学2004
- [5].L_p-空间中凸体几何的极值问题[D]. 王卫东.上海大学2006
- [6].凸几何与离散几何中的极值问题[D]. 司林.上海大学2006
- [7].L_p-Brunn-Minkowski理论研究[D]. 俞武扬.上海大学2006
- [8].积分变换在Busemann-Petty型问题中的应用研究[D]. 吕松军.上海大学2007
- [9].凸体的Brunn-Minkowski理论[D]. 袁俊.上海大学2007
- [10].凸体的极值问题[D]. 卢峰红.上海大学2006