论文摘要
国债的利率期限结构是定量金融学中基本且非常重要的问题之一,主要是研究国债利率与到期期限之间关系的曲线。它是金融产品定价,风险管理和套利投机以及保险资产管理的基础。随着我国国债利率的市场化程度加深,对利率期限结构的研究显得尤为重要。利率期限结构拟合是一种用现代数学手段描述、分析和解决的金融课题,在理论上可简单理解为利率曲线的拟合问题。但是在实践中构造一条好的利率曲线并不容易,需要数学基础,金融知识和软件编程等多方面知识和技能。利率期限结构的静态拟合一般是利用金融生产品的价格信息,利用回归技术产生。最常用的方法是用样条函数拟合贴现率曲线,然后得到即期利率曲线和远期利率期限。选取的样条基底不同,拟合的效果也不一样。利率曲线的构造好坏直接影响金融产品交易员的业绩,也考验了投资银行的风险管理能力。利率期限结构拟合涉及多方面数学基础:在模型选择方面,有样条模型和参数模型;在优化方法和技巧方面,有最小二乘法和最小一乘法,以及处理最小二乘拟合的Levenberg-Marquardt算法.样条方法拟合效果较好,但也容易产生过度拟合等问题,造成拟合曲线光滑度不够,为此需要加入光滑惩罚项,一般形式为:其中g即为我们要求的光滑样条函数。" fidelity "为保真项," roughness"为光滑项。可通过调节λ来在" fidelity"与"roughness"之间进行均衡。保真项" fidelity"可以选为残差的Lp范数,光滑项"roughness"可以选为样条函数的某阶导函数的范数。在对上述数学基础进行综述并对常用利率期限结构模型进行分析后,本文选择了B样条模型进行数值实验,对上海证券交易所提供的价格信息对利率曲线进行拟合。为了增加准确性,使拟合的曲线更符合经济规律,我们用带光滑惩罚项的最小二乘法进行拟合:该模型使用贴现函数二阶导函数的平方的积分来充当惩罚项,在保证拟合精度的同时改进了解曲线的光滑性,因此我们必须通过调节光滑因子λ来在二者之间进行权衡。在光滑因子的选择方面,本文使用了广义交叉验证准则GCV。在计算过程中,我们还用二阶差分取代二阶导数来改进计算效率。本文比较了在使用B样条模型时带光滑惩罚项的最小二乘法、普通最小二乘法以及最小一乘法的拟合效果.实验结果表明:对样本数据而言,在数据残差平方和意义下,带光滑惩罚项的最小二乘法与普通最小二乘法的拟合效果相仿,明显优于最小一乘法拟合;而对样本外数据,带光滑惩罚项的最小二乘法略优于普通最小二乘法,远优于最小一乘法.由图形可以看出:由带光滑惩罚项的最小二乘法拟合的贴现曲线最光滑,即期利率曲线较为平滑,远期利率曲线保持为正,这与实际经济含义相符合。综上所述,对B样条模型使用带光滑惩罚项的最小二乘法具有算法简单,拟合精度良好,拟合出的贴现曲线和利率曲线光滑度好,经济意义明显,可望成为我国利率期限结构拟合的有效方法。