几类分数阶偏微分方程的数值求解

论文摘要

由于分数阶导数的记忆（非局部）性质,分数阶微分方程比整数阶微分方程能更好地模拟许多自然物理过程和动力系统过程,因而在工程,物理,金融,流体等领域应用越来越广泛。然而大多数分数阶微分方程的解析解含有复杂的级数或特殊函数,不利于近似计算。于是求分数阶微分方程的数值解尤为重要。分数阶微分方程的数值方法的构造及理论分析是一项困难的事,目前,尽管已有一些文献讨论了分数阶微分方程的数值方法,但仅涉及了少量分数阶方程类,即使对已讨论过的一些方程类,也还有一些文献没有给出相应的理论分析或理论分析不甚完善,因此,该领域有大量重要的工作需要完成。本文考虑了三类分数阶偏微分方程模型的数值解,这些方程都描述了粒子的反常扩散现象。第一章给出分数阶微分方程研究的意义以及前人所作的工作,然后给出了常用的几种分数阶算子的定义及性质。第二章考虑了一类变系数分数阶微分方程初边值问题的数值解法,给出一类带权有限差分方法。首先对此类方法进行了稳定性分析,表明方法当0≤r≤1/2时是无条件稳定的,当1/2＜r≤1时是条件稳定的（r是权系数）;然后给出方法的收敛阶;最后给出数值例子进行数值比较,验证了此类方法在取不同权参数时是有效的。第三章讨论了一类空间分数阶对流扩散方程,方程的对流项是α（0＜α≤1）阶Riemann-Liouville（R-L）分数阶导数,扩散项是β（1＜β≤2）阶R-L分数阶导数,对此方程我们用Gr（u|¨）nwald公式来逼近对流项,用移位Gr（u|¨）nwald公式来逼近扩散项,给出分数阶Cranck-Nicolson（CN）方法,然后应用数学归纳法和分数阶离散系数的特点进行了稳定性和收敛性分析,得到收敛阶在时间方向为二阶,在空间方向为一阶,由于Gr（u|¨）nwald公式和移位Gr（u|¨）nwald公式有类似Taylor公式的级数性质,我们可通过外推的方法来提高收敛精度,使收敛阶在时间空间方向都达到二阶,最后通过数值实验验证了数值方法的有效性及通过外推后的实际计算阶和理论阶的一致性。第四章考虑了分数阶对流-扩散方程的隐式有限差分方法,然后利用Fourier分析方法证明了隐式差分格式的无条件稳定性以及收敛性。最后给出数值模拟验证了数值方法的有效性。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 引言
• §1.2 预备知识
• 第二章 一类变系数空间分数阶微分方程的带权差分格式
• §2.1 带权有限差分格式
• §2.2 稳定性分析
• §2.3 收敛性分析
• §2.4 数值实验
• 第三章 一类空间分数阶对流-扩散方程的Cranck-Nicolson格式
• §3.1 分数阶Cranck-Nicolson格式
• §3.2 稳定性分析
• §3.3 收敛性分析
• §3.4 分数阶Cranck-Nicolson格式的外推
• §3.5 数值实验
• 第四章 一类分数阶平流-扩散方程的隐式有限差分格式
• §4.1 隐式有限差分格式
• §4.2 稳定性分析
• §4.3 收敛性分析
• §4.4 数值实验
• 总结
• 参考文献
• 致谢