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时域有限元法及其截断边界条件的研究

2020-12-05阅读(1006)

时域有限元法及其截断边界条件的研究

论文摘要

当前,有限元法（Finite Element Method,简称为FEM）已成为求解电磁场问题的有效的频域数值方法之一。时域有限元法（Finite Element Methodin Time Domain,简称TDFEM）能够直接在时域内求解电磁场问题。时域有限元法的研究始于20世纪80年代,并在随后的十几年中得到了快速的发展。本文研究基于求解时域二阶矢量波动方程的时域有限元法。文中首先阐述有限元法及时域有限元法的一般原理,然后结合系统的本征频率、频率采样条件以及时谐场对时间离散间隔的稳定性要求等,从一种新的途径导出时域有限元法的时间离散稳定性条件。时域有限元法的主要缺点是在每个时间步内都必需求解矩阵方程,因而系统的计算效率较低。为了提高系统的计算效率,可以进行两方面努力:一方面是减小系统矩阵的规模或改变其形式:另一方面是寻求更快的矩阵求解算法,本文讨论前一种措施。系统矩阵的规模主要取决于计算区域的大小和网格的粗细。为了减小系统矩阵的规模,除了使用高质量的网格剖分工具外,还可使用高效的截断边界条件。MEI（Measured Equation of Invariance,简称为MEI）方法最初作为吸收边界条件用于有限差分法。很快人们提出了时域MEI方法（MeasuredEquation of Invariance in Time Domain,简称TD-MEI）,并成功地应用于FDTD,能够以较小的计算区域取得精确的解。本文将TD-MEI方法应用于时域有限元法,结合基函数的性质,从一阶吸收边界条件（Absorbing BoundaryCondition,简称ABC）反推出MEI测试方程,并据此构建时域测度不变方程吸收边界条件,或称为MEI-ABC。分析发现MEI-ABC能够保持系统矩阵的稀疏性。对于标量电磁问题的计算,MEI-ABC能够有效地减小计算区域。与一阶吸收边界条件相比,MEI-ABC在精度上具有明显的优势。数值算例证明,在相同的精度要求下,MEI-ABC的未知量更少。但是,对于矢量电磁问题的计算,MEI-ABC相对一阶吸收边界条件的优势有限,而且稳定性差。为此,本文基于MEI不变性,对MEI-ABC作了改进,构建一种时域阻抗边界条件（Surface Impedance Boundary Condition intime domain,简称TDSIBC）,使精度有了很大的提高,但是计算代价也相应增加。相比MEI-ABC的快速优势,完全匹配层（Perfectly Matched Layer,简称PML）边界条件的计算速度较慢,但是精度更高。本文研究共形完全匹配层（Conformal Perfectly Matched Layer,简称CPML）技术,并应用于时域有限元法,取得了良好的结果。CPML可理解为广义PML,分析发现CPML的形状和介质参数与包围散射体的最小凸曲面有关。数值算例证明,与常规PML相比,使用CPML时,PML区域及整个计算区域更小,因而未知量减少,同时简化了每个时间步内的计算步骤,因而节省计算时间,且不降低精度。本文研究的截断边界条件为今后的时域有限元分析提供了更多的选择余地。

论文目录

  • 摘要
  • Abstract
  • 第1章 绪论
  • 1.1 计算电磁学的发展
  • 1.2 时域有限元方法的发展
  • 1.3 国内外现状分析
  • 1.4 论文概要
  • 第2章 有限元法及其数值实现
  • 2.1 数学基础
  • 2.1.1 Sobolev函数空间
  • 2.1.2 Rayleigh-Ritz方法
  • 2.1.3 Galerkin方法
  • 2.2 电磁场计算中的有限元方法
  • 2.2.1 有限元方程的建立
  • 2.2.2 基函数的选择
  • 2.2.3 截断边界条件
  • 2.3 数值算例
  • 2.4 本章小结
  • 第3章 时域有限元法及其数值实现
  • 3.1 基本公式
  • 3.2 稳定性条件
  • 3.2.1 数学解释
  • 3.2.2 物理意义
  • 3.3 截断边界条件
  • 3.3.1 吸收边界条件
  • 3.3.2 完全匹配层（PML）
  • 3.3.3 时域有限元—时域边界积分方程混合法
  • 3.4 数值算例
  • 3.4.1 标量算例
  • 3.4.2 矢量算例
  • 3.5 几种提高计算效率的方法
  • 3.5.1 正交矢量基函数
  • 3.5.2 基于区域分解法的并行计算方法
  • 3.6 本章小结
  • 第4章 时域MEI方法在时域有限元法中的应用
  • 4.1 MEI方法基本原理
  • 4.2 时域MEI方法
  • 4.2.1 基本原理
  • 4.2.2 MEI系数的求取
  • 4.3 TD-MEI方法在标量TDFEM中的应用
  • 4.3.1 离散格式
  • 4.3.2 数值算例
  • 4.4 TD-MEI方法在矢量TDFEM中的应用
  • 4.4.1 离散格式
  • 4.4.2 MEI系数的测试
  • 4.4.3 数值算例
  • 4.5 对TD-MEI方法的改进及探讨
  • 4.5.1 对TD-MEI方法的改进
  • 4.5.2 MEI-ABC的反射系数
  • 4.6 本章小结
  • 第5章 共形PML在时域有限元法中的应用
  • 5.1 PML介质中的波动方程
  • 5.2 PML在TDFEM中的应用
  • 5.2.1 二维TE波
  • 5.2.2 二维TM波
  • 5.2.3 三维情形
  • 5.3 共形PML在TDFEM中的应用
  • 5.3.1 共形PML
  • 5.3.2 二维情形
  • 5.4 数值算例
  • 5.5 本章小节
  • 结论
  • 致谢
  • 参考文献
  • 附录1
  • 附录2
  • 附录3
  • 攻读博士学位期间发表的论文及科研成果

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