外区域上Dirichlet-Neumann算子的对角化和广义逆的正则逆表示

论文摘要

本文是在法方导师Francois Alouges和中方导师陈果良教授的共同指导下完成的，全文共分成五个部分，第一部分是外区域上的Dirichlet-Neumann算子的对角化，这部分工作是在法国期间由法方教授Francois Alouges指导完成，其余四个部分关于互补广义逆的性质推导及应用则是中方导师陈果良教授悉心指导的结果．若Ω是Rd（d=2 ou 3）中的一个闭的凸集，在实际应用中经常需要求如下的能量积分（例如铁磁学中关于磁能的计算）其中φ满足在Ω上调和并且在无穷远处趋于零．利用Dirichlet-Neumann算子的定义，上式可以改写为然而众所周知，已有的求解Dirichlet-Neumann算子的近似算法的时问是与边界（?）Ω上的点的个数成平方关系，当点的个数足够多时，这将导致实际计算的困难，区域是三维的情形这一困难尤为突出．本文的想法是利用Dirichlet-Neumann算子DN的特征值和特征向量（λn,（?）n）n≥1来逼近上述能量方程．若那么很自然的我们有此时能量方程转化为我们可以用有限项来逼近上式，通过本文第一部分的实例我们知道当区域为规则的圆或椭圆时，上式将很快收敛，即能量是由Dirichlet-Neumann算子DN的最小的若干个特征值和特征向量来决定．从而上述问题转化为求解Dirichlet-Neumann算子DN的最小的若干个特征值和相应的特征向量．在木文的第一章中我们首先分析了当区域为圆和球的情形，通过Fourier分析和调和分析，我们得出了如下结论：当区域为圆时，Dirichlet-Neumann算子DN的特征值为λn=|n|，其重数为2，相应的特征向量为（?）n=einθ，即Fourier基．当区域为球时，Dirichlet-Neumann算子DN的特征值为λn=n，但其重数为2n+1，相应的特征向量为Ylm，为调和函数的基．利用无限元的思想，通过类比三角流我们给出了求解Dirichlet-Neumann算子DN最小若干个特征值和相应的特征向量的一个线性算法．通过大量的实例，与已有的方法相比我们的算法精度更高，且计算时间与区域上的点的个数成线性关系，这导致虽然当点数较少时，我们的算法需要较多的时间，但当点数足够多时，我们的方法将体现出其优越之处．矩阵理论在数值计算、线性规划、数据分析、网络优化等重大领域有着极其广泛的应用．随着科技进步，矩阵理论在实际中应用越来越广泛，矩阵理论的研究也显得越来越重要．在实际应用中，经常遇到如下的线性方程组：Ax=b，其中A∈Cm×n，x∈Cn，b∈Cm（1）若A为方阵且非奇异，则（1）一定有唯一解为x=A-1b．若（1）为相容方程组（即b∈R（A）），则一定有解．但当其解有无数个时，通常我们关心一个范数极小的解．若（1）为矛盾方程组，通常我们求解使残差向量b-Ax范数最小的那个解，即最小二乘解．为了统一解决上述问题，广义逆理论应运而生，并最终解决了这些问题．1920年，E．H．Moore在美国数学会通报上给出了任意矩阵的广义逆的如下定义：设A∈Cm×n，则满足的矩阵G∈Cn×m称为A的广义逆矩阵，记做A+，其中PR（A）和PR（G）分别是R（A）和R（G）上的正交投影矩阵．1955年，R．Penrose在美国剑桥哲学学会学报上以非常简单、直观的形式叙述了广义逆矩阵A+满足的四个条件：设A∈Cm×n，则满足的矩阵G∈Cn×m称为A的广义逆矩阵，记做A+．可知上述两个广义逆的定义是等价的，可参阅参考文献[81]．上述定义的广义逆，通常称为Moore-Perrose广义逆，简记为M-P逆，也称作伪逆．在此基础上，又衍生出了其它许多类型的广义逆．设（?）≠η（?）{1，2，3，4}，则所有满足η中条件的矩阵集称为A的η-逆．根据广义逆的相关理论，矛盾线性方程组的最小二乘解与A的{1，3}-逆有关，相容线性方程组的极小范数解与A的{1，4}-逆有关，矛盾线性方程组的极小范数最小二乘解则与A的M-P广义逆有关．随着广义逆研究的深入，又产生了群逆，Drazin逆，Boot-Duffin逆，加权广义逆，α-β广义逆，AT,S2逆等其它广义逆．它们的部分定义罗列如下，相关性质可参阅参考文献[5，81，82，83，84，85]等．设A∈Cn×n，满足rank(Ak+1)=rank（Ak）的最小正整数k称为A的指标，记为ind（A）=k．则满足：的矩阵G∈Cn×n称为A的Drazin逆，记做Ad．当ind（A）=1时，Drazin逆称为群逆，记做A#．设A∈Cn×n，L（?）Cn，且APL+PL⊥非奇异，则称为A的Boot-Duffin逆．设A∈Cn×n,L（?）Cn，当A为“L-零”阵时．（当AL∩L⊥=0时，A称为“L-零”阵．）称为A的广义Boot-Duffin逆．近十几年来，国内外许多专家学者，如Ben Israel A．，Greville T．N．E．Rao，Stewart，魏木生，王国荣，孙文瑜，陈永林，陈果良，魏益民等，在广义逆方面做了大量的研究，在各种不同的刊物上发表了有价值的论文，出版了相关的专著．本文首先类比Boot-Duffin逆和广义Boot-Duffin逆存在的条件，Boot-Duffin逆和广义Boot-Duffin逆存在的条件分别为我们进一步考虑另外两种情形．即当A∈Cn×n，b∈Cn，T和S是Cn的子空间且T （?） S=Cn时，通过（9）式定义了一种新的互补广义逆AT,S-1=PT,S(APT,S+PS,T)-1，这里我们将传统的空间正交直和分解改为空间的直和分解，通过改变其值域空间和零空间，建立了Drazin逆、群逆与正则逆之间的如下的显式表达式：通过类比，猜测并证明了Moore-Penrose逆如下的两个显式表达式：并利用这两个表达式证明了第三章的主要定理．通常AT,S2逆包含了Drazin逆、群逆、Moore-Penrose逆、Boot-Duffin逆和广义Boot-Duffin逆．本文进一步考虑了Erdelyi在参考文献[22]中所定义的拟交换逆，证明拟交换逆其实也是互补广义逆的一种特殊情形．接着给出互补广义逆相关的扰动分析及迭代计算方法．通常研究广义逆的思路，都是由Penrose条件的四个方程出发，通过研究M-P逆的结构与性质，进而构造特殊的{1}-逆来给出AT,S2的定义，最终得出Drazin逆、群逆、Moore-Penrose逆、Boot-Duffin逆和广义Boot-Duffin逆都是特殊的AT,S2．第二章则直接推广Boot-Duffin所用的矩阵的限制逆这一工具，直接给出互补广义逆的表达式，反过来得出其性质，并指出其也包含了Drazin逆、群逆、拟交换逆、Boot-Duffin逆．在本章最后，我们研究了互补广义逆与AT,S2的关系，通过一系列的转换，我们发现在方阵情形，互补广义逆是AT,S2中的一个特殊集合，其与AT,S2具有相同的表达式，区别在于存在条件略为加强．这即为第二章的主要内容．在第三章中，通过分析,证明（10）式的条件不够确切，论证了广义Boot-Duffin逆中将L，L⊥改为T，S后，仍然成为AT,S2的必要条件为该矩阵为L-零阵且其值域空间和零空间互为正交补空间．（即必须为通常的广义Boot-Duffin逆）前面两章，都只考虑了方阵的情形．在第四章中，我们利用两个投影矩阵，建立了一般的AT,S2逆与正则逆之间如下的三个显式表达式：A∈Cm×n)并给出其在约束线性方程组求解中的应用．在最后一章我们给出了广义逆这种正则逆表示在广义逆的反序性，Lowner偏序，连续性中的一系列应用，并给出了一种计算广义逆的直接算法，通过与第二章中迭代计算方法的比较，体现出该方法的优越性．自从Penrose条件的给出，人们已经系统的研究了Drazin逆、群逆、Moore-Penrose逆、Boot-Duffin逆和广义Boot-Duffin逆等各种常用广义逆的相关结构和性质．木文的创新之处在于通过类比Boot-Duffin逆和广义Boot-Duffin逆的存在条件，推广了Boot-Duffin所用的矩阵的限制逆这一工具，构造出了特殊的互补广义逆，并通过改变其值域空间和零空间，得到了一系列的常用广义逆的正则逆表示，进而简化了广义逆的显示结构，并直观解释了各种常用广义逆的存在条件，从而使一些复杂问题变得简单，可行．

论文目录

• 论文摘要
• ABSTRACT
• 1 Diagonalization of exterior Dirichlet to Neumann map on general shapes in 2D and 3D
• 1.1 Introduction
• 1.2 The special case of the disc
• 1.3 Approximate solution of DN with the IEM on an exponential mesh
• 1.3.1 Construction of the exponential mesh
• 1.3.2 The special case of the disc with the Fourier method
• 1.3.3 Solving one DN problem
• 1.4 Spherical harmonics
• 1.5 Three dimensional exterior problems of the Laplace equation with the IEM
• 1.5.1 Construction of the exponential mesh
• 1.5.2 Construction of the stiffness matrix and the mass matrix
• 1.5.3 Impact on implementation
• 1.6 Diagonalization with a triangular flow
• 1.6.1 Principle of the triangular flow method
• 1.6.2 Solving with a Adaptive time-stepping Runge-Kutta method
• 1.7 Numerical results
• 1.8 Conclusion
• 1.9 Application
• 2 Explicit formulas of the common generalized inverses , perturbation analysis and the iterative computing methods
• 2.1 Introduction
• 2.2 Definition of complementary generalized inverse and its proposition
• T,S^-1 and iterative computing methods'>2.3 Perturbation theory of A_T,S^-1 and iterative computing methods
• T,S^-1 and A_T,S²'>2.4 Relationship between A_T,S^-1 and A_T,S²
• 3 A note on the generalized Bott-Duffin inverse
• 3.1 Introduction
• 3.2 Main results
• T,S² and its applications'>4 Explicit formulas of the generalized inverse A_T,S² and its applications
• 4.1 Introduction
• 4.2 Main results
• 5 Application of explicit formulas of the generalized inverses
• 5.1 The reverse order
• 5.2 Lowner partial order
• 5.3 Continuity
• 5.4 Computing methods for generalized inverse
• Bibliography
• 博士期间发表论文
• 致谢