杂交边界点法理论及其在薄板问题中的应用

论文摘要

无网格方法现在已成为一类有效的数值算法,能够处理许多基于网格的计算方法中存在的问题,如对复杂几何形状划分网格较困难、在分析大变形问题时会出现网格扭曲和对移动边界问题需要进行网格重构等。本文首先综述了无网格方法的发展历史和研究现状,同时对不同数值算法在板壳问题中的应用情况进行了介绍。杂交边界点法是近几年发展起来的一种新的边界类型无网格方法,在形函数插值和数值积分时均不需要划分网格,且继承了边界元法降维和计算精度高的优点。但杂交边界点法目前求解的问题的控制方程都是二阶偏微分方程。而对于另一类物理问题,例如板弯曲问题,其控制方程为四阶偏微分方程。为此,本文提出了四阶偏微分方程边值问题的杂交边界点法,进一步完善和发展了杂交边界点法的理论和应用。杂交边界点法的基本思想是利用修正变分原理将原问题的解转化为边界节点的局部积分方程,其关键在构造合适的修正泛函。对于双调和方程边值问题,修正泛函中有四个相互独立的场函数,即域内势函数、边界上的势函数及其法向导数和二阶导数；对于薄板弯曲问题,修正泛函中有五个相互独立的场函数,即域内的挠度、边界上的挠度和法向转角、边界上单位长度法向弯矩和等效剪力。利用调和方程和双调和方程的基本解的线性组合对域内场函数进行插值,边界上的场函数则采用移动最小二乘法进行近似。这样获得了四阶偏微分方程边值问题的杂交边界点法理论公式。在求解薄板弯曲问题时,引入双互易理论,利用径向基函数对薄板上作用的横向载荷和弹性地基产生的反力进行插值。将问题的解分为通解和特解两部分。非齐次方程的特解采用径向基函数插值得到,在杂交边界点法中应用修正的边界条件对通解进行求解。本文计算了各种不同几何形状、不同边界支撑和不同横向载荷作用的薄板弯曲问题,并对该方法中的自由参数进行了敏感性分析。将多互易理论和杂交边界点法结合,提出了多互易杂交边界点法,对非齐次势问题进行了分析。对于控制方程中的非齐次项,采用多互易法的思想对其进行不断微分,利用高阶基本解对问题的特解进行插值。其特点是在计算时不需要域内插值点,仅需边界节点进行离散。利用该方法求解了弹性扭转问题和带热源的热传导问题。本文的研究表明：杂交边界点法不仅能够分析二阶偏微分方程的边值问题,而且在求解四阶偏微分方程边值问题时也很有效。该方法具有计算精度高、收敛速度快等特点,适合求解各种复杂形状、复杂边界条件和复杂横向载荷作用的薄板弯曲问题,可以用其解决各种工程实际问题。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 无网格法的研究现状
• 1.3 板壳问题的数值计算方法
• 1.4 本文的主要工作
• 2 薄板弯曲问题的基本理论
• 2.1 引言
• 2.2 薄板弯曲的基本方程
• 2.3 薄板的边界条件
• 2.4 薄板的势能泛函及其变分
• 2.5 薄板弯曲的基本解
• 2.6 薄板的热弹性基本方程
• 2.7 本章小结
• 3 双调和方程的杂交边界点法
• 3.1 引言
• 3.2 变量插值
• 3.3 双调和方程的杂交边界点法
• 3.4 数值算例
• 3.5 本章小结
• 4 薄板弯曲问题的杂交边界点法
• 4.1 引言
• 4.2 双互易法理论及特解的求解
• 4.3 薄板弯曲问题的杂交边界点法
• 4.4 数值算例
• 4.5 本章小结
• 5 用杂交边界点法分析弹性地基板问题
• 5.1 引言
• 5.2 弹性地基板的计算模型
• 5.3 弹性地基板弯曲的杂交边界点法
• 5.4 数值算例
• 5.5 本章小结
• 6 薄板问题的杂交边界点法参数研究
• 6.1 引言
• 6.2 基本解插值方案的研究
• 6.3 双互易法的参数研究
• 6.4 标量因子ξ对计算精度的影响
• 6.5 权函数参数对计算精度的影响
• 6.6 试函数参数对计算精度的影响
• 6.7 本章小结
• 7 多互易杂交边界点法
• 7.1 引言
• 7.2 多互易法理论
• 7.3 多互易杂交边界点法
• 7.4 数值算例
• 7.5 本章小结
• 8 结论与展望
• 8.1 全文总结
• 8.2 展望
• 致谢
• 参考文献
• 附录1 攻读博士学位期间发表的学术论文目录
• 附录2 攻读博士学位期间参与的科研项目