矩阵的代数根

论文摘要

矩阵方程已经成为矩阵研究领域的热点之一,其中,非线性矩阵方程在矩阵理论中占有重要地位.本文主要考虑矩阵方程Xm=A和X2-2AX+B=0的解的有关问题. 矩阵方程Xm=A和X2-2AX+B=0与数量方程xm=a,x2-2ax+b=0尽管形式接近,但是,在解的存在性、唯一性、以及解的结构和性质方面是有很大区别的,不能将数量方程x2=a,x2-2ax+b=0的相应结果简单地对应到矩阵方程上面来.比如,数量方程xm=a在复数域内一定有解,且解的个数一定是有限个,但是,对于矩阵方程Xm=A而言,在复数域内不一定有解,即使有解,也不一定是有限个,如矩阵方程 的解是下列形式 数量方程x2-2ax+b=0在复数域内的解x与a和b一定是可交换的,但是,对于矩阵方程X2-2AX+B=0而言,在复数域内的解X与矩阵A、矩阵B不一定是可交换的;对于矩阵方程Xm=A而言,其非零解还有可能是幂零的,等等. 鉴于矩阵方程与数量方程的巨大区别,本文系统地考察了关于矩阵方程Xm=A和二次矩阵方程X2-2AX+B=0的解的相关结论,在此基础上,得到了这些方程可解性的条件、解的唯一性的条件、以及解的结构,并且给出了求解的算法,得出了一个复方阵的奇异值与它的m次根的关系. 本文第一章为引言部分,就本文背景、国内外研究现状和相应的结果、以及本文所做的工作进行了概括性的描述. 第二章深入讨论了矩阵方程Xm=A的解的有关问题.介绍了关于此方面

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 符号说明
• 第一章 引言
• §1.1 背景介绍
• §1.2 主要内容介绍
• m=A'>第二章 矩阵方程X^m=A
• §2.1 矩阵m次根的性质
• §2.2 矩阵的平方根
• §2.3 矩阵的标准根
• 矩阵的根'>§2.4 2×2^矩阵的根
• m=A解的存在性'>§2.5 矩阵方程X^m=A解的存在性
• m=A的一般解'>§2.6 矩阵方程X^m=A的一般解
• m=A的解的结构'>§2.7 矩阵方程X^m=A的解的结构
• 2-2AX+B=0'>第三章 矩阵方程X²-2AX+B=0
• 2-2AX+B=0的可解性'>§3.1 矩阵方程X²-2AX+B=0的可解性
• §3.2 固定点理论与特殊二次矩阵方程
• 结束语
• 参考文献
• 致谢
• 研究生阶段发表的论文