论文摘要
矩阵方程是矩阵理论中的重要内容,关于线性和非线性矩阵方程的研究一直是人们关注的重要课题之一,在数学本身以及许多其他自然科学中应用非常广泛.随着近现代自然科学和工程技术的发展,在许多领域都产生了非线性问题,非线性矩阵方程在运输理论,动态规划,梯形网格,统计学等科学和工程计算中都有广泛的应用,因此对非线性矩阵方程的研究成为计算数学中最受关注的热点问题之一本文主要研究求解非线性矩阵方程A的Newton迭代法,以及矩阵方程正定解存在的条件,求解的迭代算法,扰动分析等内容.第二章主要在的情况下研究方程其中Q为n×n Hermite正定矩阵,C为mn×mn Hermite半正定矩阵,A为mn×n复矩阵,I为m阶单位矩阵.首先得到了方程的等价形式其中并证明了这两个方程的有解性是等价的.随后讨论等价方程的解的性质,得到如下定理,记定理1若B1,…,Bm可同时酉对角化,则上述等价方程存在至少2mn个解,其中每个解和也是可同时酉对角化的.而且在这些解中有一个正定解和一个负半定解,其余的是不定解.接下来我们重点研究了求解此等价方程的Newton迭代算法,得到如下两个结果：定理2假设假设存在酉矩阵U,使得其中并假设取初始矩阵Newton迭代算法2阶收敛于等价方程的正定解,这里g是方程的负根,R+代表所有正数组成的集合；如果取Y0迭代算法2阶收敛于等价方程的负定解.定理3设σ*是方程（1-σ）3-σ2=0则对初始矩阵Y0=I,等价方程在内有解Y,进一步,Newton迭代收敛于Y,且有其中最后我们给出两个数值算例,将文中所得到的Newton迭代法与已有的算法进行了比较,说明了算法的有效性.第三章主要讨论方程其中Q为n×n Hermite正定矩阵,C为mn×mn Hermite半正定矩阵,A为mn×n复矩阵,I为m阶单位矩阵.我们首先给出了方程的等价方程其中又通过推导得到了求解等价方程的Newton迭代格式并证明了在满足条件的情况下,Newton迭代序列{Yk}单调递减,二次收敛于等价方程的最大解YL,且有‖Yk+1-YL‖≤8λmax（P-3）λmax（BH）B/1-λmax（P-2）λmax（BHB）‖Yk-YL‖2我们将所有n×n正定矩阵的集合记为P（n）.第四章主要讨论如下矩阵方程其中A为非奇异的,Q为Hermitian正定的,s为正实数,f为从P（n）到P（n）的连续映射,且f单调递增(即由0推出或者单调递减（即由推出f（X）≥f（Y））.首先我们得到了方程存在正定解的一个充分必要条件.定理4设f是从P（n）到HP（n）的连续映射,其中HP（n）代表所有n×n Hermitian正定矩阵的集合.方程存在Hermitian正定解当且仅当存在非奇异矩阵W,使得其中此时方程存在Hermitian正定解为了讨论求解方程的迭代法,假设对于给定的矩阵B,方程f（X）=B总存在正定解,且这个解很容易得到.考虑如下迭代法这里我们假设方程中的A,Q,f满足f-1（A-HQA-1）≤Q1/s.我们得到了以下两个结果：定理5假设f-1存在且f单调递减.设s=1.方程在区间（0,λmax（Q）I）内存在正定解当且仅当存在实数x∈（0,λmax（Q））,使得对任意的k都有Xk≤XI.而且此时取初始值X0=0,迭代序列收敛于方程的最小正定解.定理6设f-1存在且f单调递减,且假设f,f1分别在Ω1=[f-1（A-HQA-1）,Q1/s],内每一点都可微.设（i）若方程当s>1时存在Hermitian正定解X且a<1,则X为方程的唯一解.（ii）假设存在闭集Ω（?）Ω1满足g:Ω→Ω,且g9（X）=f-1（A-H（Q-Xs）A-1）,若a<1,则方程当s>1时在Ω内存在唯一解X.进一步,考虑上面的迭代法,取X0∈Ω.迭代序列{Xk}收敛于唯一解X,而且最后我们对方程进行了扰动分析.设为原方程的扰动方程设A,A非奇异且Q,Q为正定的,0<s<1假设f-1:P（n）→P（n）存在且f单调递减.我们得到了如下扰动定理：定理7设X,X分别为原方程及其扰动方程的正定解.映射f-1在Ω4中的每一点都可微,其中设其中