论文摘要
本文中,我们应用高阶加权本质非振荡格式（WENO）,快速扫描法,有限差分,Runge-Kutta型时间离散等数值方法研究二维单向动态反应行人平衡连续行人流模型以及含随流影响的二维单向动态反应行人平衡连续行人流模型。该模型构筑在Hughes在2002年提出的二维连续行人流的动态模型上,其行人路径选择策略满足动态反应行人平衡原则。在这个原则下,行人所选择的、到达目的地的路径使得瞬时行进成本最小。该模型的行人密度、流通量、速度由二维标量守恒律方程控制。流通量方向通过Eikonal方程隐式地依赖于行人流密度。在数值求解过程中,每一时间步内我们先利用WENO Godunov快速扫描法求解Eikonal方程,得到流通量后,利用WENO有限差分格式离散守恒律方程。随流影响引进该模型后,我们证明了守恒律方程多了粘性项。此时,对比于上面简单的Eikonal方程,流通量方向通过静态Hamilton-Jacobi方程隐式地依赖于行人流密度。在数值求解过程中,我们使用拟时间依赖方法求解Hamilton-Jacobi方程。高阶快速扫描法已经被充分应用到求解静态Hamilton-Jacobi方程。对比于一阶快速扫描法,高阶快速扫描法具有高精度的优点,但由于其数值模板较宽,增加了对边界附近点的额外数值边界的处理。其中,以对流入边界附近点的精确处理尤为重要,因为信息将从边界流入计算区域,从而影响整体精度。在以前的文章中,这些点的数值解要么赋予精确值,如果没有精确值或者赋予一阶结果,此时会降低整体精度。在本文中,我们讨论两个处理数值流入边界条件的技巧。一是基于边界附近不同网格的一阶快速扫描法的数值解和Richardson外插,一是基于Lax-Wendroff法重复利用偏微分方程写出到流入边界的法向空间导数,从而得到流入边界附近点的高阶数值解。我们使用经典例子快速扫描高阶WENO格式求解静态Eikonal方程来验证这两个技巧。并利用数值试验来说明这两个技巧的性能。
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