论文摘要
L-函数是由Dirichlet级数定义的生成函数。它可以表示为Euler乘积的形式。它的来源可以是算数几何，比如定义在数域上的椭圆曲线，也可以是自守形式。Langlands纲领的猜想指出，尽管有不同的起源，每个一般的L-函数事实上都可以分解成一些特殊L-函数的乘积。这些特殊的L-函数是由某些GLm上的尖形自守表示给出。本文中，我们所关心的就是Langlands纲领中指出的这些特殊的L-函数。即，由GLm（AQ）上不可约尖形酉表示π所生成的L-函数，m≥2．第一章，从介绍L-函数开始。我们将介绍L-函数的背景，以及它们的一些性质和理论。为了一般性，我们以表示论的角度给出L-函数L（s，π）的定义。同时也将举新形式为例。我们的主要结果是关于广义Riemann假设下L（s，π）的素数定理。这些结果的叙述在第二章中。论文的其它章节给出了这些定理的详细证明。通过定义以下计数函数我们将L（s，π）同素数联系起来。这样，关于L（s，π）的素数定理，就是指研究ψ（x，π）的渐进结果。已知的无条件估计是这里c是某正常数，关系（?）中的常数依赖于π。这是刘建亚同叶扬波的文章[28]中主要定理的一个特殊情况。同样的结果也可以通过Iwaniec和Kowalski的书[14]中定理5．13而得到。广义Riemann假设假定L（s，π）的所有非平凡零点都落在临界线Rs=1／2上。在广义Riemann假设下，式子（0．0．1）将变为ψ（x，π）（?）x1／2log2x．（0．0．2）这里关系（?）中的常数依赖于π．我们得到的定理不仅是以上结果的改进，同时也给出了关于ψ（x，π）的积分均值估计和小区间上的密度估计。定理2．1。令π为一个定义在GLm（AQ）上的不可约尖形酉表示，m≥2。假定L（s，π）的广义Riemann假设成立。那么当x≥2时，除去在有限对数测度的集合E上，我们都有如下估计ψ（x，π）（?）x1／2（loglogx）2，这里定理2．2。令π如定理2．1中所定义。假定L（s，π）的广义Riemann假设成立。那么，我们有定理2．3。今π如定理2．1中所定义。假定L（s，π）的广义RiemanniK设成立。那么，我们有这里C>0是一个依赖于π的正常数。参照定义（A8），将广义Ramanujan猜想问题中的上界记作θ。我们还得到如下定理。定理2．4。令π如定理2．1中所定义。令θ如（A8）中所定义。假定L（s，π）的广义Riemann假设成立。那么，对于任意满足h（x）／（xθlog2x）→∞的增函数h（x）≤x，我们有我们的定理2．1-2．4推广了经典的结果，即关于函数为ζ（s）时，Gallagher[8]，Cramer[2]和[3]，以及Selberg[38]所得到的结果。我们的证明结合了Gallagher在[8]和[9]中的方法，以及刘建亚、叶扬波和王永辉的工作中关于Rankin-Selberg自守L-函数的素数定理的结果，[26]，[28]，[27]。证明中的关键部分，是得到了如下的显式。定理3．1。令π为一个定义在GLm（AQ）上的不可约尖形酉表示，m≥2。那么，对于x≥2以及T≥2，我们有这里θ如（A8）中所定义。定理3．1的特点在于它是无条件的。不同形式的显式出现在Moreno的文章中[30][31]；在广义Ramanujan猜想假设下，一般的L-函数的显式的证明在[14]式（5．53）中出现。而我们的显式既不需要广义Riemann假设，也不需要广义Ramanujan猜想。因此，它可以在很多关于自守L-函数的问题中得到应用。