略论加权残数法和变分原理的关系

论文摘要

变分原理广泛地应用在力学的各个方面,它是研究力学、物理学和其他各种技术科学的强有力的工具,在理论上和实用上都有重要的价值。加权残数法是一种新兴的计算力学方法,计算量小,精度高,简单直观,可以没有泛函等等。有些文献认为加权残数法和变分原理无关,我们的研究表明加权残数法和变分原理之间有着密切的关系。 本文首先讨论了加权残值法的基本方法:配点法、子域配置法、Galerkin法和最小二乘法。接着研究了变分原理的直接方法——Ritz法和加权残值法的主要方法——Galerkin法的关系,说明两种方法的等价是有条件的。为了进一步研究加权残数法与变分原理的关系,论述了变分原理各类条件的完备性。研究表明组合变分原理导致加权残数法中的罚函数法。 本文应用加权残数法中的广义Galerkin法,建立保守系统的有限元计算模型,经过严密的数学推演,表明这些模型与应用广义变分原理建立的有限元模型相同,说明广义Galerkin法的有效性,同时,也进一步说明加权残数法和变分原理之间有着密切的关系。 本文还从Laplace方程和弹性力学基本方程出发讨论了积分方程和加权残值法的关系。 文章最后得出结论:加权残数法和变分原理有密切关系的,如果联合应用加权残数法和变分原理,在工程实际中将会将会更有利于解决各种实际问题和提高计算效率。

论文目录

• 第1章 引言
• 第2章 加权残数法和变分原理的关系初探
• 2.1 加权残数法的基本概念
• 2.1.1 基本概念
• 2.1.2 基本方法的类型
• 2.1.3 加权残数法用于弹性力学问题
• 2.2 加权残数法的基本方法
• 2.2.1 配点法
• 2.2.2 子域配值法
• 2.2.3 Galerkin法
• 2.2.4 最小二乘法
• 2.3 RITZ法
• 2.3.1 基本概念
• 2.3.2 以弹性力学的最小势能原理为例来说明问题
• 2.3.3 探讨Ritz法与Galerkin法是否等价
• 2.4 高阶拉氏乘子法、最小二乘法和罚函数法
• 2.4.1 高阶拉氏乘子法
• 2.4.2 罚函数法（Penalty Function）
• 2.4.3 结论
• 2.4.4 关于拉氏乘子不参加变分的一点说明
• 2.5 本章小结
• 第3章 从有限元看残数法和变分原理的关系
• 3.1 以变分原理为基础的有限元
• 3.1.1 修正的势能原理
• 3.1.2 修正的余能原理
• 3.1.3 修正的Hellinger-Reissner原理
• 3.1.4 修正的胡海昌-鹫津久-郎原理
• 3.2 以加权残数法为基础的有限元
• 3.2.1 适用于有限元计算的最一般的加权残数方程
• 3.2.2 位移协调元模型
• 3.2.3 位移杂交元模型
• 3.2.4 应力协调元模型
• 3.2.5 应力杂交元模型
• 3.2.6 应力协调的混合元模型
• 3.2.7 应力杂交的混合元模型
• 3.2.8 位移协调的全元混合元模型
• 3.2.9 位移杂交的全元混合元模型
• 3.3 本章小结
• 第4章 积分方程法与加权残数法
• 4.1 积分方程法
• 4.2 在线弹性力学中积分方程与加权残数的关系
• 4.3 微分方程的等效积分形式与加权残数法
• 4.3.1 微分方程的等效积分形式
• 4.3.2 等效积分的“弱”形式
• 4.3.3 加权残数法是基于等效积分法的一种近似的方法
• 4.3.4 用Galerkin法构造与微分方程相应的泛函
• 4.4 本章小结
• 结论
• 附录 （编程计算）
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表的论文和取得的科研成果
• 致谢