可数向量值函数基及（Ω，μ）-框架的刻画

论文摘要

小波分析作为一种日趋完美的新型理论已经在科学研究中得到了广泛的应用。框架理论是小波分析理论的重要组成部分,其概念是由Duffin和Schaefer与1952年在研究非调和Fourier分析中提出来的。框架的研究有重要的现实意义,现在已广泛地应用于信号处理、数据压缩、样本理论等领域中。而（Ω,μ）-框架是框架理论中更为抽象但更广泛、更有指导意义的一部分,本文着重研究了（Ω,μ）-框架的刻画及（Ω,μ）-框架经过算子作用之后的若干结果。作为研究（Ω,μ）-框架时启发性的结果,本文提出了有限向量值函数基、可数向量值函数基,并给出了它们的一些性质。本文主要由四部分组成。第一章:绪论。在这一部分主要阐述了小波分析理论的研究过程中框架的发展历程及在各级段的重要结果,同时介绍了目前框架研究的发展方向。第二章:背景知识。这一章主要介绍了在以后章节中所要用的知识,主要是关于向量函数的极限、连续、积分的相关理论。第三章:可数向量值函数基。这一章主要分三个步骤引入了向量值函数基,先引入了有限向量值函数基,然后引入可数向量值函数基。第四章:（Ω,μ）-框架刻画。这一章从不同方面刻画了（Ω,μ）-框架,并研究了某些算子作用于（Ω,μ）-框架之后得出的结论。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1 绪论
• 1.1 由Fourier分析到小波分析及框架理论
• 1.2 框架理论的发展状况
• 1.3 本文的主要工作
• 2 背景知识
• 2.1 向量值函数的连续性
• 2.2 向量函数的可导性与Riemann积分
• 2.3 向量函数的Pettis积分与Bochner积分
• 2.4 基与框架
• 3 可数向量值函数基
• 3.1 有限维空间中的有限向量值函数基
• 3.2 Banach空间中的可数向量值函数基
• 3.3 （Ω,μ）-Bessel映射
• 3.4 可数向量值函数基和希尔伯特空间中的正交系统
• 3.5 标准正交可数向量值函数基
• 4 （Ω,μ）-框架及其刻画
• 4.1 （Ω,μ）-框架刻画
• 4.2 （Ω,μ）-框架和算子
• 致谢
• 参考文献
• 攻读硕士期间的研究成果