双自旋1/2量子系统的渐近跟踪

论文摘要

本文建立了双自旋1/2系统的微分方程模型,将自旋1/2系统的刘维尔方程（Liouville-von Neuman Equation）转化为张量空间的坐标微分方程。同时,刻画了双自旋1/2系统的状态向量空间。最后,采用非线性系统控制设计与分析方法,研究了双自旋1/2系统的渐近跟踪问题。本文的研究结果由以下三部分组成：第一部分：研究了双自旋1/2系统的微分方程建模问题。利用算子空间的加权泡利矩阵基和双自旋1/2系统伴随算子的矩阵,将描述双自旋1/2系统动态行为的密度算子方程（即Liouville-von Neuman方程）转化为张量空间的坐标微分方程。基于所得的坐标微分方程,双自旋1/2系统将可以在非线性系统控制理论的框架下进行研究。第二部分：研究了双自旋1/2系统向量空间的描述问题。由于密度矩阵本身的性质,使得它在基{λj1j2}j1,j2∈I4下的坐标与该密度矩阵并不是一一对应的。利用N级系统的Bloch向量空间的刻画方法并结合密度算子三次方的迹运算,我们将双自旋1/2系统的向量空间约束为一个球上的真子集,使得所得的坐标微分方程可以完全表征双自旋1/2系统的密度算子方程。第三部分：研究了双自旋1/2系统的渐近跟踪问题。内容包括：基于双自旋1/2系统轨线的范数不变性,构造这类系统渐近跟踪问题；利用李亚普诺夫函数的控制设计方法,设计相应的状态反馈控制器；根据拉塞尔不变集原理对相应系统轨线的收敛性进行分析；用Cauchy-Schwarz不等式等号不成立的条件表征能实现渐近跟踪轨线的初始点所在区域；对于不跟踪轨线的初始点,利用充分光滑非线性函数泰勒公式及其高阶导数的性质,确定不能跟踪初值点的对应轨线的动态行为以及在这些轨线上控制律的性质。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 量子系统
• 1.2 自旋1/2系统及其研究现状
• 1.3 本文拟解决的主要问题
• 第2章 双自旋1/2系统的微分方程建模
• 2.1 预备知识
• 2.1.1 单自旋1/2系统伴随与反伴随算子的矩阵表示
• （?）2到gl（2²,C）的伴随算子矩阵表示'>2.1.2 作用于gl（2,C）^（?）2到gl（2²,C）的伴随算子矩阵表示
• 2.2 双自旋1/2量子系统的坐标微分方程
• 2.3 小结
• 第3章 双自旋1/2系统的向量空间描述
• 3.1 引言
• 3.2 预备知识
• 3.2.1 密度矩阵
• 3.2.2 N级系统的Bloch向量
• 3.3 双自旋1/2系统的向量空间描述
• 3.4 小结
• 第4章 双自旋1/2系统渐近跟踪问题的状态反馈设计
• 4.1 引言
• 4.2 问题描述
• 4.3 基于李亚普诺夫函数的控制器设计
• 4.4 跟踪性能分析
• 4.5 数值例子
• 4.6 小结
• 第5章 总结和展望
• 5.1 总结
• 5.2 展望
• 参考文献