半导体漂流扩散模型及其相关模型的渐近极限问题研究

论文摘要

本文研究半导体材料科学中的漂流扩散模型及其相关模型,利用奇异摄动理论的渐近展开方法、古典能量方法以及一些重要的不等式,如Cauchy-Schwarz不等式、Holder不等式、Hardy-Littlewood不等式、Sobolev引理等,探讨半导体漂流扩散模型及其相关模型的适定性与渐近极限问题.第1章绪论,主要介绍半导体的发展历史、模型及其研究进展以及本文的结构和主要研究内容.第2章主要研究具有混合边界条件的一维半导体漂流扩散模型的混合初边值问题的拟中性极限.这里的混合边界条件是指在左边界取接触（Dirichlet）边界条件,而在右边界则取绝缘（Neumann）边界条件.此时的拟中性极限问题与已有的Neumann边界条件下的拟中性极限问题有很大的不同.本章重点研究Dirichlet边界条件下的边界层结构与Neumann边界条件所导致的边界层结构的差别.为简单起见,这里假设doping轮廓和初值满足一定的条什,从而避免了右边界层和初始层的出现,即研究只有左边界层存在的情形.首先通过匹配渐近分析,直接构造了一个关于电子密度、空穴密度和电势的精确的近似解,然后构造出误差函数,并对其进行能量估计.在估计时我们发现,要处理其中出现的奇异项,并得到一致估计,在左边界处需要满足一个小性条件,即掺杂后的粒子密度的总和在左边界的值很小（如小于某个常数η）.最终得到如下结论：在好边值的情形下,拟中性极限是成立的；在坏边值的情形下,如果满足上述小性条件,则拟中性极限是成立的,并且直到极限模型的最大存在时间；否则,只能得到局部的收敛性结果.第3章继续研究混合边界条件下一维半导体漂流扩散模型初边值问题的拟中性极限.在第2章的基础上,将加在doping轮廓和初值上的假设条件去掉,研究了左边界层、右边界层和初始层都存在的情形.通过引入密度变换,运用形式渐近展开的方法,构造了一个更精确的近似解（由内解、左边界层函数、右边界层函数和初始层函数构成）,并进一步证明了拟中性极限是成立的.其中证明的一个技巧在于：由于左、右边界条件的不同（左边界取为Dirichlet边界条件,而右边界取为Neumann边界条件）,所以在构造近似解时,将边界层函数在左边界处用电势形式表示（即取为φ+0）,在右边界处用电场的形式表示（即取为E0,其中E0=-φx0）.第4章研究在Neumann边界条件下半导体漂流扩散模型的混合层问题和拟中性极限问题.2006年Wang,Xin和Markowich研究了Neumann边界条件下一维半导体漂流扩散模型的拟中性极限问题,他们通过假设一个相容性条件成立,从而避免了混合层的出现.本章将这个相容性条件去掉,研究了混合层存在的情形,通过构造上、下解,推导出了混合层函数具有指数衰减性,并进一步用渐近展开的方法和古典能量方法证明了极限的收敛性.第5章研究电解液中电扩散模型的初始层问题.电扩散模型是一个由Poisson-Nernst-Planck系统和不可压Navier-Stokes系统耦合的模型.对于一般初值,构造了一个包含初始层的精确近似解,利用多尺度渐近展开方法和古典能量方法,证明了极限的收敛性,并用Hardy-Littlewood不等式处理了其中由初始层函数导致的奇异项.对半导体漂流扩散模型及其相关模型进行研究不仅具有重要的理论意义,而且具有广泛的应用价值.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 模型简介
• 1.2 研究进展介绍
• 1.3 本文的主要研究内容
• 第2章 接触-绝缘边界条件下的半导体漂流扩散模型的拟中性极限
• 2.1 引言
• 2.2 构造近似解和匹配渐近分析
• 2.2.1 内函数和边界层函数满足的方程的推导
• 2.2.2 近似解的存在唯一性
• 2.2.3 边界层函数的性质
• 2.3 收敛性结果及其证明
• 2.3.1 主要结果
• 2.3.2 定理2.1的证明
• 2.4 本章小结
• 第3章 接触-绝缘边界和一般变号的doping轮廓条件下半导体漂流扩散模型的拟中性极限
• 3.1 引言
• 3.2 形式渐近展开
• 3.2.1 形式渐近展开的唯一性
• 3.2.2 边界层函数和初始层函数的性质
• 3.3 主要结果及其证明
• 3.3.1 收敛性结果
• 3.3.2 能量估计
• 3.4 本章小结
• 第4章 半导体漂流扩散模型的混合层问题和拟中性极限
• 4.1 引言
• 4.2 模型变形和匹配渐近分析
• 4.3 收敛性结果的严格论证
• 4.4 本章小结
• 第5章 电解液中电扩散模型的初始层问题
• 5.1 引言
• 5.2 方程变形及主要结果
• 5.3 能量估计
• 5.4 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 附录:攻读博士学位期间参加的科研项目
• 攻读博士学位期间发表的学术论文
• 致谢