分数阶反应扩散方程解的定性研究

论文摘要

本文主要研究一类线性和拟线性分数阶微反应扩散方程弱解的存在性,和一类非线性分数阶微反应扩散方程经典连续解存在唯一性,全文共四章.第一章介绍分数阶微积分的发展,分数阶反应扩散方程的研究发展状况及其研究方法,以及本文的主要工作.第二章给出一些后文将要用到的基本知识,包括分数阶微积分和Sobolev函数空间.第三章主要给出了线性和拟线性分数阶反应扩散方程弱解的存在性和估计.在最后一章里,我们用单调迭代方法证明了一类非线性反应扩散方程解的存在性和唯一性,并给出两例子验证.第一章首先介绍了分数阶微积分的发展情况和历史.接着介绍分数阶反应扩散方程的发展以及研究方法.最后简要介绍了本文的主要工作.第二章介绍了本文将要用到的基础知识,其中包括分数阶微积分和Sobolev函数空间.首先介绍分数阶微积分,例如Riemann-Liouville分数阶导数,Caputo分数阶导数,以及它们的一些性质,另外还有特殊函数Mittag-Leffler函数.当处理分数阶微分方程时,会遇到很到这些特殊函数.接着引入Sobolev函数空间·些定义和性质,例如H1（Ω）,H01（Ω）等。第三章主要研究线性和拟线性分数阶反应扩散方程的弱解和估计.借助于Rothe方法,我们取得了形式相对简单的分数阶反应扩散方程弱解的存在性和一些解估计.进一步,我们讨论了更一般方程的弱解存在性和估计.第四章主要研究了非线性分数阶反应扩散方程解的存在性和唯一性.通过上下解的单调迭代方法,我们证明了非线性分数阶反应扩散方程解的存在性和唯一性.并在文末给出了两个例子来验证所取得的结果.

论文目录

• ABSTRACT
• 中文摘要
• Notation
• 1 Introduction
• 1.1 Background
• 1.2 The Development and Research Methods of Fractional Reaction-Diffusion Equations
• 1.3 Main Works
• 2 Preliminaries
• 2.1 Fractional Calculus
• 2.1.1 The Riemann-Liouville Fractional Derivative
• 2.1.2 The Caputo Fractional Derivative
• 2.1.3 Mittag-Leffler Type Functions
• 2.2 Abstract Function Spaces
• 3 Existence Results for Weak Solution of Quasilinear Time Fractional Reaction-Diffusion Equation
• 3.1 Time Quasilinear Fractional Reaction-Diffusion Equation
• 3.2 Existence and Estimate of Weak Solutions
• 4 Existence and Uniqueness Results for Nonlinear Time Fractional Reaction-diffusion Equation
• 4.1 Nonlinear Time Fractional Reaction-diffusion Equation
• 4.2 Existence and Uniqueness Results
• 4.3 Examples
• Bibliography
• Acknowledgement
• List of Publications during Study of the Master
• 学位论文评阅及答辩情况表