论文摘要
双线性系统是一种非常重要的非线性系统,可以表示各种各样的物理、化学、生物社会等系统过程.这类系统的特别之处是关于状态或控制(输入)是线性的,但对这两者并不同时具有线性性,因为在系统方程中含有输入和状态的乘积项.双线性系统作为一类比较简单的非线性系统,能够逼近大量的非线性控制系统,并且在结构上与线性系统具有一部分的相似性,这使得双线性系统有广泛的工程实际应用价值和重要的理论分析意义.在过去的几十年里,双线性系统以其广泛实际应用背景和突出的理论意义受到大量关注,因而一直是控制领域和数学界的研究热点之一.本文主要研究了双线性系统的可控性和镇定问题,获得了若干重要的理论和应用结果.本论文的主要研究内容和创新点如下：1、对两输入二维离散齐次双线性系统的可控性问题进行了研究.在假定两个系数矩阵是可交换的情形下,我们对其做了分类详细讨论并对每种情形给出了这种系统的可控性的充分必要条件,从而完全解决了这种系统在系数矩阵可交换的条件下的可控性问题.这也表明一些连续双线性系统在经过Euler离散化之后,其可控性有可能改变也有可能不变.2、研究了一类“不可控”的,n维单输入离散双线性系统的可控性区域.尽管已经从理论上证明了高于二维的单输入离散双线性系统一定不可控,但是我们可以考虑这类系统的全体不可控的点有多少.对于系数矩阵是循环矩阵,其特征值全为非零实数且它的约当标准形中的约当块的阶数均不超过2,计算表明这类双线性系统的不可控区域实际是一个Lebesgue零测集.换句话来说,这类系统是几乎可控的.此外,计算还表明若这类系统初始点取自可控性区域内时,那么它可以到达全空间中的任意点.3、对多输入连续双线性系统的镇定性进行了分析.基于Lyapunov稳定性理论,分别对于不带漂移和带漂移的双线性系统做了讨论,设计了状态反馈控制器.我们从理论上证明了系统在此控制下是全局渐近稳定的,这表明系统具有全局镇定性.通过做平面系统和空间系统的仿真实验,我们都可以直观地看出系统轨线随着时间的变化而逐渐接近系统的零点.仿真的结果验证了理论的正确性.4、对齐次离散双线性系统的镇定问题进行了研究.主要研究了这样一类离散双线性系统的镇定问题：这类离散双线性系统是由齐次连续双线性系统经过欧拉离散化得到.我们给出了两种控制器,它们分别是状态反馈和常数反馈.并且在系统满足一定条件下,采用二次状态反馈的闭环系统不仅是渐近稳定的,而且是指数稳定的.对于所得到的理论结果,我们做了仿真实验.我们可以看出系统的状态轨迹随着转移次数的增加而逐渐收敛到原点,这表明了实验结果与理论是一致的.
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