薄壁梁变形分析的基本理论

论文摘要

薄壁杆件的应用和薄壁梁理论的发展相互促进。近年来,随着截面开阔、力学性能优良的金属以及复合等材料的薄壁杆件日益广泛地应用于航空、航天、桥梁、建筑等各个结构领域中,薄壁杆件的理论研究和工程技术水平不断提高。薄壁杆件的截面愈开阔,其力学性能愈好,从而在横截面积一定的情况下可以更有效的利用材料。然而,开阔的横截面也使得薄壁杆件截面的形状更容易发生改变。确定薄壁杆件承载能力时,稳定性常常是起决定作用的重要方面。当越来越多截面更加开阔的薄壁杆件得以应用,考虑截面的变形就逐渐成为杆件稳定性分析中必不可少的因素。在线弹性分析中考虑薄壁杆件截面的变形是稳定性等精确分析的前提。现有的薄壁杆件截面畸变稳定分析以数值方法为主。就数值方法而言,无论是其方法的形成还是对其结果的分析和总结,都是以解析理论为基础的。截面可变形的薄壁梁理论将截面的变形纳入梁理论的范畴,可以到达解析方法与数值方法的完美结合,有助于从全局的高度把握稳定性分析。广义梁理论（GeneralizedBeam Theory或GBT）是符拉索夫薄壁梁理论的推广,是截面可变形的薄壁梁理论。然而,现有广义梁理论的完备性问题长期未能解决。不完备的表现是广义梁理论有板件最少数量的限制。本文仅限于线弹性范围内关于广义梁理论一些基本问题的讨论,试图解决现有广义梁理论的完备性问题,是关于薄壁梁变形分析的基本理论。本文继承了现有广义梁理论的合理内核,按照应用力学梁理论对弹性力学问题进行近似的一般方法,从经典理论中发掘并建立与现代数值方法的联系,导出完备广义梁理论（Complete GBT或CGBT）。弹性力学问题难以求解使应用力学近似理论得以发展。本文关于单平板薄壁梁的分析表明,应用力学中的梁板理论是基于研究对象在几何方面横向几何尺度“远小于”纵向几何尺度的特点,利用康托洛维奇（Kantorovich）方法对弹性力学问题进行分离变量、横向插值的结果。用计算力学观点可以将应用力学简化方法概括为通过其基本假定中的运动学假定,将各点在三个坐标方向的位移分别线性表示为关于纵向坐标的未知函数及其导数的代数多项式,多项式的系数是一组线性无关的关于横向坐标的已知函数即基底函数,从而用分离变量的方法将三维物体的弹性力学问题简化为一维或二维问题,形成梁、板等理论分支。在满足完备性基础上,无论是考虑中面内剪切变形的情形,还是考虑中面外弯曲变形的情形,都可以通过提高横向插值多项式最高次数,建立考虑截面变形的完备的高“阶”次的薄壁杆件理论。本文指出现有广义梁理论的完备性问题分为两个方面。其一是在GBT基本部分的阐述中,不考虑边缘板件的弯曲,从而将边缘板件基底函数（试函数）的最高次数降低为1次,截面自由度不包括边线上的中面法向位移和扭转角。另一在于该理论扩展部分的阐述中虽然允许将包括边线在内的节线中面法向位移做为独立的自由度,但仅将其做为可有可无的选项,并且将节线上的扭转角做为从属自由度利用三弯矩方程等方法予以消去,减少了中间板件上插值基底函数的数量。GBT不完备具体表现在该理论有板件最少数量的限制,即n个板件单元构成的开口薄壁梁,其基本部分方程的基本未知量为n+1（n≥3）或扩展部分的n+3（n≥3）。本文导出单平板薄壁梁广义梁方程是完备的广义梁方程,初步解除了现有广义梁理论最少板件数量的限制,是完备化的基石。在几何方面,薄壁梁有两个“远小于”,即横截面的宽度或高度远小于杆件的长度,组成板件的厚度远小于横截面的宽度或高度。由平板组成的薄壁梁在其几何形态上又具有自然离散的特点。本文基于这些认识,继单平板薄壁梁分析之后,应用与现有广义梁理论相同的运动学基本假定,即各板件单元的中面内运动满足简单梁的基本假定、中面外运动满足薄板弯曲问题的基本假定,按照各板件单元上满足完备性的要求,提出完备广义梁理论。对于由n块板件构成的开口截面薄壁梁,利用薄板理论的自然变分原理,分别以完全的1次Legendre多项式和3次Hermit多项式为描述板件平面内、外变形的基底函数,导出完备的具有2n+4（n≥1）个广义位移的广义梁方程,彻底解除现有理论对板件数量的限制,使广义梁理论完备化。在完备广义梁理论的截面分析中,本文建立了全新的完备的自由度（基本未知量）系统。将周线看做连续梁或平面框架,以位移法基本结构做为研究对象,不但适用于无分支开口截面和有分支开口截面,也适用于有计算节点的截面。去除了自由度缩减的过程,仅利用位移协调条件,将截面上任意一点的位移由截面上的独立自由度表出。不再以全部的棱节点、边节点轴向位移为自由度（基本未知量）,换之以周线起始节点和各中线单元终止节点的中面法向位移做为自由度（基本未知量）,并将节点的转角和边节点的中面法向位移也做为必不可少的自由度来考虑。在现有广义梁理论中,位移列向量转换矩阵的元素以关于中线单元夹角的正弦、正切做为分母,于是就有中线单元夹角非零的要求。在周线直线段上节点即中间节点如计算节点的位移需单独列出,进行特殊处理。本文建立的自由度系统,其转换矩阵元素将正弦、余弦做为分子,不再要求中线单元夹角非零。因而无须将节点区分为棱节点、边节点或中间节点,适用于由平板组成的任意开口截面薄壁梁的分析,减小了计算的复杂性,方便了分析和计算。通过实例说明了在本文提出的自由度系统中施加连续的以及离散的截面约束的方法。前者为自由度缩减,后者为梁单元端约束。仍然利用自由度缩减,使具有2n+4个广义自由度的CGBT方程退化为现有GBT基本部分的n+1（n≥3）个以及其扩展部分的n+3（n≥3）个广义自由度的方程。方程退化过程的完成进一步明确了现有GBT不完备的根源:1)边缘板件中面外位移线性化;2)在横向应用三弯矩方程的原因不明确;3)过度依赖节点翘曲做为截面自由度。以CGBT方程为基础,本文对广义梁理论的简化计算方法进行阐述。仅仅将n+1个节点转角做为从自由度消去,而不引入边缘板件的中面外位移的线性化约束,使得方程CGBT方程自由度数量缩减到n+3（n≥1）,得到缩减的完备广义梁理论（Reduced CGBT或RCGBT）方程。适当选取前若干阶模态进行简化计算的依据,可得到截断的完备广义梁理论（Truncated CGBT或TCGBT）。特别地,选取前4阶刚周边模态得到的TCGBT即得到刚周边的符拉索夫薄壁梁理论。这两种简化计算的方法都具有重要的意义,是面向工程应用的后续工作中,为考虑截面变形,而进行类似弯扭耦合的近似解析推导,提供了基本依据。通过算例,利用CGBT方程的有限元列式将CGBT、RCGBT、TCGBT方程的有限元解与现有GBT以及薄板理论有限元解进行比较,初步显示出完备广义梁理论的优越性:1)较高的数值稳定性。2)横向加密节点不能显著提高CGBT结果的精度。3)总自由度数目较少,计算效率得以提高,计算经济性好。提出自然完全模态谱系的概念。自然完全模态是指CGBT截面分析中不考虑计算节点,仅由构造节点进行截面划分,不进行任何的截面自由度缩减而得到的全部截面模态。由自然完全模态下广义梁方程D矩阵非对角线非0元素相互关联着的模态构成的模态族和模态子族,在更广泛的意义上揭示出尤其是具有对称轴截面的各模态之间的相关性。模态谱系概念刻画了薄壁梁的不同类型的平衡状态,是关于截面变形和位移的规律性认识。借助模态谱系概念可以系统地认识薄壁梁的平衡状态,便于在分析中区分、识别和设定初始平衡状态和失稳平衡状态,使现有薄壁梁稳定理论得到深化并对薄壁梁稳定研究提供指导。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 主要符号
• 1. 绪论
• 1.1 截面可变形薄壁梁理论的提出以及研究和应用的现状
• 1.1.1 对薄壁梁截面变形的感性认识
• 1.1.2 薄壁梁稳定研究的前提
• 1.1.3 截面可变形薄壁梁理论研究和应用的现状
• 1.1.4 截面可变形薄壁梁理论研究的技术路线和应用前瞻
• 1.2 本课题的研究目的和意义
• 1.3 本课题的研究构思及工作任务
• 2. 单平板薄壁梁的广义梁方程
• 2.1 截面线性变形单平板薄壁梁
• 2.1.1 薄板理论的基本假定、控制微分方程和变分原理
• 2.1.2 不考虑剪切变形的单平板薄壁梁中面内受力变形分析
• 2.1.3 截面线性变形单平板薄壁梁的中面外受力变形
• 2.1.4 截面线性变形单平板薄壁梁的方程汇总
• 2.2 考虑中面内剪切变形的单平板薄壁梁
• 2.2.1 剪切滞后效应
• 2.2.2 铁摩辛柯梁理论
• 2.2.3 高阶剪切变形理论
• 2.2.4 中面内运动的截面高次翘曲位移假定
• 2.2.5 单平板薄壁梁中面内高次变形的基本方程
• 2.2.6 简单例题
• 2.3 考虑中面外弯曲变形的单平板薄壁梁
• 2.3.1 单平板薄壁梁中面外运动的高次位移假定
• 2.3.2 单平板薄壁梁中面外高次变形的基本方程
• 2.3.3 单平板薄壁梁中面外高次变形梁方程的有限元解
• 2.3.4 简单例题
• 2.4 截面高次位移的正交化
• 2.4.1 截面高次位移的正交化方法
• 2.4.2 关于面内问题的一个记注
• 2.5 小结
• 3. 完备广义梁理论（CGBT）方程
• 3.1 基本假定
• 3.1.1 板件单元的中面内运动假定
• 3.1.2 板件单元的中面外运动假定
• 3.1.3 相邻板件单元间位移协调条件
• 3.2 截面的运动自由度
• 3.2.1 截面运动自由度的数量
• 3.2.2 截面上的位移约束关系
• 3.3 由泛函变分建立微分方程
• 3.3.1 板件单元的位移模式、几何方程和物理方程
• 3.3.2 梁上的荷载
• 3.3.3 梁端的荷载
• 3.3.4 由自然变分原理建立微分方程
• 3.4 小结
• 4. 例子与讨论
• 4.1 梁跨度范围内的位移约束条件—截面约束
• 4.1.1 离散的截面约束
• 4.1.2 连续的截面约束
• 4.1.3 CGBT与现有GBT的关系
• 4.2 单角钢梁的例子
• 4.2.1 基于 RCGBT的截面分析
• 4.2.2 梁方程求解结果讨论
• 4.3 模态的相关性
• 4.3.1 自然完全模态的概念
• 4.3.2 自然完全模态谱系
• 4.3.3 建立模态谱系概念的意义
• 5. 结论
• 5.1 主要成果
• 5.2 需要进一步研究的问题
• 致谢
• 参考文献
• 附录A. 详细的推导
• A.1 铁摩辛柯梁理论及其表现形式
• A.2 关于 Levinson梁的分解刚度形式的推导
• 附录B. 程序
• B.1 单平板薄壁梁中面外变形方程的有限元程序
• B.1.1 生成单元刚度矩阵
• B.1.2 纯弯曲主程序
• B.2 完备广义梁理论（CGBT）有限元程序
• B.2.1 截面分析
• B.2.2 模态的正交化
• B.2.3 弯曲和扭转受局部连续约束的模态正交化
• B.2.4 主程序
• B.2.5 截面模态的可视化
• 附录C. 攻读博士学位期间发表的论文、参与项目及获奖情况