几类偏微分方程精确解的构造

论文摘要

在孤子理论中,构造非线性发展方程和非线性差分-微分方程精确解越来越引起人们的重视.辅助方程法和试探函数法是直接而有效的方法,其基本思想是通过适当选取不同的辅助方程或适当选取解的不同形式来构造方程的的精确解,当然也希望所得的解不仅包括前人已经得到的解,同时还要得到新的精确解.因此本文主要有两部分工作:求非线性连续的偏微分方程和非线性差分-微分方程的精确解.首先,给出了Riccati方程的一些解,并在符号计算机系统Maple的帮助下,将Riccati方程法应用于非线性偏微分方程,并以伯格方程和Klein-Gordon方程为例,得到其一些双曲函数、三角函数和有理函数精确解.此外,给出了Riccati方程的一些特解,并在符号计算机系统Maple的帮助下,将Riccati方程法应用于求解非线性差分-微分方程,并以非线性离散的mKdV lattice方程和（2+1）-维的Toda lattice方程为例,得到其一些双曲函数和三角函数精确解.并且通过引入一个新的三角函数型展开式,在符号计算机系统Maple的帮助下分别给出非线性离散的mKdV lattice方程和非线性离散的Hybrid lattice方程的新的三角函数解.

论文目录

• 内容提要
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景
• 1.2 非线性发展方程求解研究现状
• 1.3 非线性差分-微分方程的研究现状
• 1.4 研究意义
• 1.5 本文主要工作
• 1.6 论文的整体结构安排
• 第二章 Riccati方程法在非线性连续偏微分方程中的应用
• 2.1 Riccati方程法
• 2.2 Riccati方程的解
• 2.3 Riccati方程法应用
• 2.3.1 例1 伯格方程（BG）
• 2.3.2 例2 Klein-Gordon方程
• 第三章 非线性差分-微分方程的精确解
• 3.1 方法介绍
• 3.2 Riccati方程的特解
• 3.3 Riccati方程法的应用
• 3.3.1 考虑非线性离散的mKdV lattice方程[17]
• 3.3.2 （2+1）-维Toda lattice方程的精确解
• 3.4 非线性差分-微分方程的三角函数精确解
• 3.4.1 非线性离散的mKdV lattice方程三角函数精确解
• 3.4.2 非线性离散的Hybrid lattice方程的三角函数精确解
• 第四章 结论
• 参考文献
• 内容摘要
• Abstract
• 致谢