论文摘要
令f（z）=xd+a1.xd-1+…+ad,a1,...,ad∈Z,d≥2,是一个不可约多项式.令Nf（n）为f（x）≡0（mod n）满足0≤x<n的解的个数.研究函数Nf（n）一直以来都是一个很重要的问题.早在1952年,数学家Erdos就对这个问题做了研究,得出了两个渐近公式.近年来,国内外数学家对同余方程解的个数问题做了大量研究Fomenko, Kim,吕广世对一元多项式同余方程解的个数问题做了深入研究,得到了很好的结果.1999年,Daniel在考虑二元多项式除数个数问题时得到了二元多项式同余方程解的个数估计.本文就这个问题做了进一步研究,改进了以往的估计结果,并将其结果推广到高次均值情形.本文主要分为三个部分,第一部分系统地介绍了本课题的研究背景,给出了本文的研究结果：设f（x1,x2）是一个二元κ（κ≥2）次整系数不可约多项式,令定理1.1对任意κ次阿贝尔二元多项式f（x1,x2）,我们有其中C（f）是（3.1.4）中的定义.定理1.2对任意κ（κ≥9）次非阿贝尔二元多项式f（x1,x2）,我们有其中C（f）是（3.2.2）中的定义.定理1.3对于任意的l≥2,我们有其中Pm（log Q）是（3.3.5）中的定义,m=κl定理1.4对于任意的c≥2,我们有其中Pm’（log Q）是（3.4.3）中的定义,m=κl-1.第二部分介绍了为了证明本文的结果需要用到的预备知识,包括解析数论中的关于ζ（s）,L（s.χ）的各次积分均值估计,代数数论中的Dedekind zeta函数的性质,还有Gabriel凸定理和Phragmen Lindelof定理,以及二元多项式的性质等.第三部分首先回顾了函数ρ（α）和ρ*（α）的性质,然后分别给出了定理1.1,1.2,1.3,1.4的证明过程.本文的证明运用解析数论的若干方法和技巧,利用Perron公式和柯西留数定理,以及Dedekind zeta函数的性质得到最后的估计.
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