Almansi型分解及其应用

论文摘要

多调和函数作为多项式函数的最直接的推广,其理论在偏微分方程,数值计算,小波分析,多复变函数论,弹性理论,雷达成像等领域中有许多重要应用.Al-mansi分解定理是多调和函数理论的核心定理,它是Fischer定理的推广,Fischer定理是球调和函数理论的基础,Fischer分解通过Fischer内积和Bargmann变换紧密相连,Bargmann变换在Heisengberg群表示理论中有重要应用（参见[59,36]）.原始的Alma-nsi分解将多调和理论简化为调和函数理论,早期研究成果汇集在《多调和函数》一书[3]中.本文将系统地研究Almansi分解定理,建立有限型Almansi分解定理和无限型Al-mansi分解定理,建立Clifford分析,Dunkl-Clifford分析,Umbral分析理论中的相应的Almansi分解定理.在有限型Almansi分解定理中,我们将研究双曲算子,双曲Helmholtz算子,Dun-kl-Laplace算子,Umbral-Helmholtz算子相应的Almansi分解,这推广了古典的Alma-nsi分解定理关于Laplace算子及其幂算子的理论.我们所研究的函数将不再局限于古典情形的复值函数,我们将研究Clifford值函数.值得指出的是,古典的Clifford分析大多局限于在Clifiord代数Cl0,n,我们的理论适用于一般的Clifford代数Clp,q·（见第二章和第四章）作为有限型Almansi分解定理的应用,我们完全解决了单位球上关于双曲算子的Riquier问题.利用Dunkl算子的Almansi分解,我们给出了多重Dunkl调和函数的增长估计,从而得到了多重Dunkl调和函数的Liouville定理.（见第四章和第五章）无限型Almansi分解定理是级数形式的分解定理,函数的研究类型从多调和函数扩充到了解析函数.我们得到了星形域上解析函数无穷级数表示,其求和项由波函数给出.这一理论平行于单位球面上平方可积函数关于球调和函数的分解理论.（见第四章）无限型Almansi分解定理中的级数表示由关于双曲算子的normalized system给出,这需要对normalized system进行深入研究.我们得到了波算子,Dunkl-Laplace算子的normalized system.古典情形的normalized system处理的算子是可交换的,我们在Clifford分析中研究normalized system将面临非交换的算子.我们将normalizedsystem的研究领域推广到了非交换领域.作为应用我们求解了Helmholtz方程的具体形式解,研究了波算子的Riquier问题.（见第三章）利用Almansi分解定理,我们试图研究Clifford分析中的polymonogenic函数理论,例如其Berezin变换理论.Berezin变换在物理上具有重要的应用.古典的Berezin变换涉及单位球上的全纯函数或者调和函数.我们初步的结果给出了关于monogenic函数的Berezin变换的恒等逼近性质.采用的方法是利用M（o|¨）bius变换处理Clifford分析中复杂的Bergman核函数.（见第六章）由于Almansi分解在Clifford分析,Dunkl分析,Umbral分析等分析理论中起着重要作用、Almansi分解定理具有广阔的应用前景.

论文目录

• 致谢
• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 引言
• §1.2 本文主要结果
• 第二章 Umbral分析与Dunkl分析
• §2.1 Clifford分析
• §2.1.1 Clifford值数
• §2.1.2 Clifford值函数
• §2.2 Dunkl分析
• §2.2.1 Dunkl算子
• §2.3 Umbral分析简介
• §2.3.1 Umbral分析回顾
• §2.3.2 Umbral calculus的量子力学表示
• 第三章 Normalized system
• §3.1 Normalized system的定义与例子
• §3.1.1 定义
• §3.1.2 两个最简单的例子
• §3.2 Laplace算子的normalized system
• §3.3 波算子和Dunkl-Laplace算子的normalized system
• §3.3.1 几个需要的引理
• §3.3.2 波算子的normalized system
• §3.3.3 Dunkl-Laplace算子的normalized system
• §3.3.4 Normalized system的应用
• §3.4 Dirac算子的normalized system
• §3.5 反交换的算子的normalized system
• 第四章 Almansi分解定理
• §4.1 回顾几类算子的Almansi分解
• §4.2 双曲-Helmholtz算子的Almansi分解
• §4.3 Umbral Clifford分析中的Almansi分解
• §4.4 Helmholtz算子的Almansi分解的更一般情形
• §4.5 p（D）的Almansi分解
• §4.6 无限型Almansi分解
• 第五章 Almansi分解的应用
• §5.1 Dunkl-多调和函数的Liouville定理
• §5.1.1 Dunkl-多调和函数
• §5.1.2 Liouville定理
• §5.2 Almansi分解在方程边值问题中的应用
• 第六章 Clifford分析中的Berezin变换
• §6.1 背景
• §6.2 加权Bergman核
• §6.3 主要结果
• 第七章 后记
• 参考文献
• 作者攻读博士期间完成论文