论文摘要
常微分方程边值问题在经典力学和电学中有着极为广泛的应用，它是常微分方程学科的重要组成部分。基于丰富的实际应用背景，抽象空间中非线性常微分方程边值问题正解的存在性问题，在整个常微分方程研究领域，显得尤为重要。对于经典的边值问题（比如：Drichlct型两点边值问题，Robin型两点边值问题等）近30年来，已取得了深入而系统的结果。但是，有关三点边值问题（尤其是高阶微分方程多点边值问题）的研究却相对较少，如文[1]-[5]，[13]-[16]和[18]。在上述研究基础之上，本文主要研究Banach空间中的几类非线性微分方程多点边值问题一解及多解的存在性；并鉴于半正、脉冲、奇异的重要性，探讨了半正、脉冲、奇异对非线性微分方程的解产生的影响，且获得了一些较好的结果。因此本文研究的内容具有重要的理论意义和应用价值。全文共分四章。本文第一章利用关于严格集压缩算子的锥拉伸与压缩不动点定理，讨论了Banach空间E中一类四阶非线性微分方程三点边值问题多个正解的存在性，其中η∈（0，1），并给出有限维空间中的例子说明我们的条件是合理的。第二章通过建立特殊的锥，利用不动点定理研究了半正边值问题正解的存在性，其中非线性项f（t，x）可能在某些t和x处为负，且f∶[0，1]×[0，+∞)→R满足Carathéodory条件，λ是一个正参数，η∈（1／2，1），随后通过例子验证条件的合理性。第三章利用有界正线性算子的谱理论及锥上的不动点指数理论，得到了奇异半正边值问题分别在满足超线性和次线性条件下正解的存在性，并举例说明条件的合理性，其中f（t，x）可能在t=0，t=1和x=0点有奇异性，且非线性项f（t，x）可能在某些t和x处为负。最后一章利用M（?）nch不动点定理，讨论了Banach空间中一类带奇异性的脉冲微分方程多点边值问题解的存在性，其中β∈R，η∈（0，1）。最后通过无穷维空间的例子说明条件合理。