流形计算

论文摘要

不变流形(包括稳定流形和不稳定流形)计算具有深刻的理论背景和广泛的应用背景。由于自然界中所有随着时间而变化的现象都可以用适当的动力学模型描述(如微分方程、差分方程、随机过程等),所以动力系统的一般理论得到了广泛而深入的研究。在动力学系统理论研究中,稳定流形和不稳定流形的几何结构是其中心问题之一。稳定流形和不稳定流形计算是研究全局分岔和混沌吸引子边界问题的有力的工具;同时稳定流形和不稳定流形计算可以用来研究系统的周期轨。本文首先介绍了不变流形的一些理论知识,结合理论给出两种具体的不变流形:神经网络流形和Lorenz流形,并给出了理论分析。接着介绍了几种最新的流形计算算法,详细介绍了这些算法的步骤,并分析了这些算法的优点和缺点。本文提出了改进的流形计算算法,可以求得稳定流形和不稳定流形的直观图像,从而可以从几何角度研究动力系统的动态行为和稳定性区域的边界特征。算法主要构成:第一步利用PDE算法在不变流形上求出许多分布合理的点,精确的反映流形面的每个细节。第二步在已知这些点的情况下,勾画出直观的不变流形。算法第一步,利用一阶拟线性偏微分方程来逼近不变流形,然后利用欧拉法把求解一阶拟线性偏微分方程转化成求解非线性方程,避免了频繁求解微分方程问题,提高了算法的效率。算法第二步,借助三角形剖分或二维单纯形剖分,使得到图像更加直观。利用改进的不变流形算法计算神经网络流形和Lorenz系统流形,通过选择不同的计算长度,深刻反映了流形的生长过程,得到不变流形整体和局部的几何结构。文章最后对改进流形计算算法的速度和误差进行了理论分析,理论分析和实际运行结果表明,相对以前的流形计算算法,改进的算法在速度上有很大提高,在误差上,能够达到流形计算理论上的理想误差。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景
• 1.2 研究现状
• 1.3 论文背景和工作内容
• 1.4 论文结构
• 第二章 不变流形
• 2.1 稳定或不稳定流形
• 2.2 神经网络流形
• 2.2.1 神经网络
• 2.2.2 Hopfield 神经网络流形
• 2.3 Lorenz 流形
• 2.4 本章小结
• 第三章 流形计算算法
• 3.1 PDE 算法
• 3.1.1 计算流形上点
• 3.1.2 计算不稳定流形
• 3.1.3 利用PDE 算法计算Lorenz 流形
• 3.2 扩展轨迹算法
• 3.2.1 切空间正交基
• 3.2.2 扩展轨迹和K 维圆球
• 3.2.3 利用扩展轨迹算法计算Lorenz 流形
• 3.3 测地圆算法
• 3.3.1 寻找新的网格点
• 3.3.2 网格点
• 3.3.3 利用测地圆算法计算Lorenz 流形
• 3.4 两步法
• 3.4.1 求出不变流形
• 3.4.2 画出流形直观图
• 3.4.3 利用两步法计算Lorenz 流形
• 3.5 本章小结
• 第四章 改进的流形计算算法
• 4.1 计算流形上点的PDE 算法
• 4.1.1 PDE 算法逼近流形
• 4.1.2 欧拉离散化
• 4.1.3 流形上点计算过程
• 4.1.4 流形面上点到平衡点距离讨论
• 4.2 画出不稳定流形过程
• 4.2.1 新的网格点产生过程
• 4.2.2 调整网格点过程
• 4.2.3 画出不变流形过程
• 4.3 利用改进的流形计算算法计算流形
• 4.3.1 计算神经网络流形
• 4.3.2 计算Lorenz 流形
• 4.4 本章小结
• 第五章 改进流形计算算法速度和误差讨论
• 5.1 算法速度
• 5.2 算法误差讨论
• 5.3 本章小结
• 第六章 结论及未来的工作
• 6.1 结论
• 6.2 未来的工作
• 致谢
• 参考文献
• 附录