重调和方程的变分不等式和边界元法的研究

论文摘要

弹性平板的摩擦问题是力学中最常见的问题之一。它的求解是建立一个四阶变分不等式的数学模型,这类问题的关键和难点是建立其变分泛函和求解方法。近几年来发展起来的变分不等式方法为摩擦问题的求解提供了统一的框架和有力的工具。变分不等式的数值解法主要有有限元法和边界元法,二者各有利弊。而对于求解边界变分不等式和四阶椭圆型方程边值问题时,使用边界元法比有限元法更具有优越性,原因在于利用边界元法进行求解能够达到降维、计算量少的效果。论文共分5章。第一章主要概述了边界元法、变分不等式和边界元法求解重调和方程的现状,着重介绍了目前国内外学者的研究动态。第二章针对所研究的第二类四阶变分不等式及重调和方程边值问题对未知函数的要求,建立了Sobolev空间框架,并介绍了在这样的空间中建立的一整套理论,如:广义解,广义函数,广义(弱)导数,迹定理和Brezzi理论,等价模定理等。第三章给出了弹性平板摩擦问题的第二类四阶变分不等式及其相应的重调和方程边值问题的等价性的证明。并对该类变分不等式中的不可微项采用了正则化处理。第四章采用了边界元法和多重互易法相结合的方法求解重调和方程边值问题,通过求解边界变分方程得到了重调和方程边值问题的近似解。并且通过数值算例说明了该方法具有收敛速度快,计算精度高的特点。第五章给出了重调和方程近似解与精确解的边界元法的收敛性分析。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 边界元法的概述及研究现状
• 1.2 变分不等式的研究进展及现状
• 1.3 边界元法求解重调和方程的现状
• 1.4 课题来源及意义
• 1.5 本论文研究的主要内容
• 第2章 理论基础
• 2.1 边值问题的变分原理
• 2.1.1 可微凸泛函的极小化问题
• 2.1.2 不可微凸泛函的极小化问题
• 2.2 Sobolev 空间
• 2.2.1 广义解
• 2.2.2 Sobolev 空间
• 2.2.3 迹定理和 Brezzi 理论
• 2.2.4 Sobolev 空间中的Green 公式
• 2.2.5 等价模定理
• 2.3 四阶椭圆方程边值问题
• 2.3.1 重调和算子
• 2.3.2 重调和方程边值问题
• 2.4 本章小结
• 第3章 弹性平板的摩擦问题的第二类四阶变分不等式
• 3.1 问题的提出及符号
• 3.2 摩擦问题与相应的重调和方程边值问题
• 3.3 重调和方程边值问题的简化
• 3.4 第二类四阶变分不等式中不可微项的正则化方法
• 3.5 本章小结
• 第4章 利用边界元法求解一类重调和方程边值问题
• 4.1 引言
• 4.2 齐次边值问题弱解的存在唯一性
• 4.3 边界元法解的建立
• 4.4 多重互易法在边界元法中的应用
• 4.4.1 MRM-边界积分方程的建立
• 4.4.2 MRM-边界变分方程的建立
• 4.5 数值算例
• 4.6 本章小结
• 第5章 重调和方程边值问题的边界元法的收敛性分析
• 5.1 边界元空间
• 5.2 Galerkin 方法及误差估计
• 5.3 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果
• 致谢
• 作者简介