中立型随机泛函微分方程解的渐近性质

论文摘要

关于随机微分方程理论的研究已经有很长的历史,迄今得到了大量有用的结果.化学工程与航空理论等领域的需要,推动了中立型随机泛函微分方程理论的研究.本文讨论几种类型的中立型随机泛函微分方程解的渐近性质.首先,讨论一类具有可变多时滞的中立型随机微分方程,这类方程包含了普通的中立型随机延迟微分方程,具有一定普遍性.应用特殊的Lyapunov函数建立这类可变多时滞的中立型随机微分方程解的矩稳定性的判别法,这类判别法对于验证方程解的矩稳定性要相对容易一些.同时,我们将一类特定的ψ函数取代常见的指数函数引入到讨论中,并把ψ函数与方程的解的乘积视为一个整体来考虑,得到了更一般的矩稳定性的结论.然后通过随机分析的相关知识以及矩不等式、Burkholder-Davis-Gundy不等式和Borel-Cantelli引理等技巧,追加适当的条件,直接从矩稳定性推出相应的轨道稳定性.方程的整体解的存在性是考虑方程解的渐近性质的前提条件,线性增长条件是保证方程的整体解存在的最简单条件.一般而言,在缺少线性增长条件下,由局部Lipschitz条件仅能得出局部解的存在唯一性,而这就无法支撑任何涉及渐近性质的讨论.因此,寻求线性增长条件以外的整体解存在条件,具有基本的重要性.对于一般的中立型随机泛函微分方程,我们通过对中立项的特殊处理,在局部Lipschitz条件的前提下,通过追加适当条件,得到了方程整体解的存在性.同时,在类似的条件下,我们也得到了方程整体解矩有界和时间平均矩有界等渐近性质的结论.而且,我们还给出了在一些具体的增长条件下得到整体解的存在性及相关的渐近性质的结论.最后,考虑了中立型随机泛函微分方程的特殊形式——中立型随机延迟微分方程,根据延迟微分方程的特殊形式,得到了一些更便于应用的结论.对于一个有限时滞的随机泛函微分方程而言,最大时滞T刻画了系统记忆的限度.然而,在考察现实的发展系统时,实际确定上述的T却是一个难题.消除这种困难的一种彻底的方法是干脆将时滞T增大到无穷,因而在每一点t以（-∞,t）作为记忆区间.这样就有必要讨论中立型的无限时滞的随机微分方程,所以它成为本文的一个研究课题.我们同样将ψ函数引入无限时滞的中立型随机系统,得到更普通的矩估计和轨道估计,在ψ函数单调减少和单调增加两种情况下,分别给出了方程解的矩稳定性和矩有界性,以及方程解的轨道稳定性和轨道有界性.最后我们对Markov调制的中立型随机泛函微分方程进行了讨论.在充分考虑了Markov调制系统的特殊性质后,在局部Lipschitz条件满足的前提下,同样通过追加适当条件,得到了方程整体解的存在性,同时在类似的条件下得到了整体解的一些渐近性质的结论.而且,我们还给出了在一些具体的增长条件下得到整体解的存在性以及有关渐近性质的相应结论.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 研究的背景及其现状
• 1.2 研究的方法和内容
• 1.3 预备知识
• 2 可变多时滞的中立型随机微分方程解的稳定性
• 2.1 引言与预备
• 2.2 矩稳定性
• 2.3 几乎必然轨道稳定性
• 2.4 应用举例
• 3 中立型随机泛函微分方程整体解的存在性和渐近性质
• 3.1 引言与预备
• 3.2 整体解的存在性和渐近性质
• 3.3 应用举例
• 3.4 中立型随机延迟微分方程
• 4 无限时滞的中立型随机泛函微分方程解的矩估计和轨道估计
• 4.1 引言与预备
• 4.2 矩估计
• 4.3 几乎必然轨道估计
• 4.4 无限时滞的随机延迟微分方程
• 5 Markov调制的中立型随机泛函微分方程
• 5.1 引言与预备
• 5.2 基本引理
• 5.3 主要结论
• 6 总结与展望
• 致谢
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表和完成的论文目录