关于指数权的积分和估计及Lagrange插值的加权平均收敛性

论文摘要

在无穷区间上的正交多项式及Lagrange插值的平均收敛性的研究都是当前函数逼近理论研究的重点与热点。本论文有三个有意义的结果。第一个结果是给出了无穷区间上的任意权函数的积分和的下界估计，它在无穷区间上的正交多项式及Lagrange插值的平均收敛性的研究中起基本的作用。定理A．令dμ，dν是Ⅰ上的测度，0＜p＜∞。又令△（?）Ⅰ且Ω=[c，d]（?）△，-∞＜c＜d＜+∞，满足如果integral from n=c′to d′dμ（x）=integral from n=c to d dμ（x）其中c≤c′≤d′≤d．则有c′=c和d′=d。假设Pn（dμ）的零点的最大模满足o（n）。则对于一切足够小的δ＞0和足够大的n，有{（γn-1）／γn sum from n=xkn∈△λkn|Pn-1(xkn|}p integral from n=△|Pn（x）|pdν（x）≥δp／（2（12）p）σ（dν，Ω；δ）integral from n=Ωdν（x）。此外，如果有integral from n=Ωdν（x）＞0，则（?）{（γn-1）／γn sum from n=xkn∈△λkn|Pn-1(xkn|}p integral from n=△|Pn（x）|pdν（x）＞0。第二个结果是对指数权的各种积分和给出了精确估计，这是指数权的正交多项式及基于其零点的插值的收敛性的研究的基础，因而有理论的意义。令0＜p≤2，情形A表示当p=2且c=a或d=b，情形B表示出此之外的其他情形。定理B·令W∈F（lip1/2+）且-a=b，Q为偶函数。假设△（?）Ⅰ为一区间，0＜p≤2，则有sum from n=xkn∈△λknW(xkn-p～（?）情形A，情形B。定理C．令W∈F（lip1/2+）且-a=b，Q为偶函数．假设△（?）Ⅰ为一区间，0＜p≤2，则有sum from xkn∈△λkn|Pn-1xkn|p～（?）情形A，情形B。定理D．令W∈F（lip1/2+）且-a=b，Q为偶函数．假设△=（c，d）（?）Ⅰ为一区间，0＜p≤2，则有sum from n=xkn∈△1/(|P′n(xkn|)～an1/2。第三个结果给出了基于指数权的正交多项式的零点的Lagrange插值的平均收敛性的一个新的必要条件。定理E．令dμ，dν是Ⅰ上的测度．△=（c，d），-∞＜c＜d＜∞且0＜p＜∞，则有‖Ln（X）‖C0（△）→Ldνp≥c（△，p）‖1/（1+|x|） sum from n=xkn∈△|(x-xknekn（x）|‖dν，p和‖Ln（X）‖C0（△）→Ldνp≥c（△，p） sum from n=xkn∈△1/(|w′n(xkn|)‖wn（x）／（1+|x|）‖dν，p此外，在定理A的条件下，我们有‖Ln（dμ）‖C0（△）→Ldνp≥c（dν，△，p）[integral from n=△|Pn（x）|dν（x）]-1‖Pn（x）／（1+|x|）‖dν，p定理F．令W∈F（lip1/2+）且-a=b，再令Q为偶函数，0＜p＜∞。u≥0假若且u∈C（Ⅰ）。则（?）integral from n=Ⅰ|an1/2Pn（x）|p u（x）dx≥c integral from n=ⅠW（x）-p u（x）dx。定理G．令W∈F（lip1/2+）且-a=b，Q为偶函数．令△（?）Ⅰ为有限区间且0＜p＜∞。假设u≥0，u∈C（Ⅰ）有（?）integral from n=Ⅰ|Ln（W2，f；x）-f（x）|pu（x）dx=0对于每个函数f∈C0（△）都成立。则integral from n=Ⅰ[（1+|x|）W（x）]-pu（x）dx＜∞。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 1.1 记号以及后面的论文安排
• 1.2 正交多项式
• 1.3 指数权的正交多项式
• 1.4 积分和的估计
• 1.5 Lagrange插值的加权平均收敛性
• 第二章 积分和的精确估计
• 2.1 引理
• 2.2 任意权函数的积分和的估计
• x_kn∈△λ_knw(x_kn)^-p的估计'>2.3 积分和∑_xkn∈△λ_knw(x_kn)^-p的估计
• x_kn∈△λ_kn|P_n-1(x_kn)|^-P的估计'>2.4 积分和∑_xkn∈△λ_kn|P_n-1(x_kn)|^-P的估计
• x_kn∈△1/|P′_n(x_kn)|的估计'>2.5 ∑_xkn∈△1/|P′_n(x_kn)|的估计
• 第三章 Lagrange插值的加权平均收敛性
• 3.1 任意节点的Lagrange插值算子的下界估计
• 3.2 关于指数权的Lagrange插值的加权平均收敛性
• 第四章 若干注记
• 参考文献
• 附录一 攻读硕士学位期间完成的论文
• 附录二 致谢