一类（2+1）维非线性方程的精确解与数值模拟

论文摘要

从二十世纪六十年代以来，自然科学的许多学科领域几乎不约而同地出现了非线性问题的研究热潮，使得非线性发展方程在等离子体，流体力学，光学通信等自然科学领域里得到了广泛的应用。寻求非线性发展方程的精确解及探索这些解的动力学性质无论是在理论研究中还是在实际应用中都具有非常重要的意义。近年来，涌出了一系列新的求解法。同宿测试方法已成功地用于求解一些方程的同宿轨道解，扩展同宿测试可求周期孤波解，双周期孤波解，行波解以及更为广泛的一类精确解。本文利用同宿测试方法和Hirota双线性方法求出了（2+1）维激光方程的双线性形式及精确显式同宿解，在前人已获得（1+1）维Hirota方程及Ginzburg-Landau方程的同宿解的基础上，我们获得了（2+1）维Hirota方程及Ginzburg-Landau方程的同宿解。同时我们利用扩展的同宿测试技巧得到了（2+1）维KP方程的精确解，并且我们用Matlab软件对相应解进行数值模拟，由图形直观分析其解的特点，结果与理论是相符合的。本文章节及内容安排如下：第一章：首先介绍了孤立子、双线性算子及同宿轨的一些基本知识，接着又介绍了几种常用的求解非线性发展方程的方法，特别是Hirota双线性方法及一些基本概念性质与定理。第二章具体介绍了Hirota方法，利用此方法我们获得了激光方程的双线性形式，得到了了（2+1）维激光方程的同宿解。与此同时在前人已经得到了（1+1）维Hirota方程及Ginzburg-Landau方程的同宿解的基础上我们将其推广至（2+1）维，由于维数的推广计算难度有所加大，尔后我们获得了这两个（2+1）维方程的同宿解，并利用Matlab软件对所求的结果进行数值模拟，由图像分析，其结果与理论是相符合的。第三章：把KP方程Hirota双线性化后，利用扩展的同宿测试技巧的几种形式解分别代入其双线性形式，导出KP方程各系数之间的关系，得其精确解，并利用Matlab软件反映该解的变化过程，由数值模拟的过程我们看出，同宿轨道的破裂可以导致混沌现象，经过查阅相关资料由此我们可以得出KP方程的解具有混沌现象。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 历史背景
• 1.2 预备知识
• 1.3 已有结果和本文主要工作
• 第二章 同宿测试法求（2+1）维激光、Hirota、Ginzburg-Landau方程的精确解
• 2.1 （2+1）维激光方程的精确解
• 2.1.1 （2+1）维激光方程的双线性化
• 2.1.2 （2+1）维激光方程的精确解
• 2.1.3 （2+1）维激光方程解（2-30）的数值模拟
• 2.2 （2+1）Hirota方程的同宿解
• 2.2.1 （2+1 ）维Hirota方程的介绍及双线性化
• 2.2.2 （2+1 ）维Hirota方程的同宿解
• 2.2.3 （2+1）维Hirota方程的解（2-61）的图形
• 2.3 （2+1） 维Ginzburg-Landau 方程的精确解
• 2.3.1 （2+1 ）维Ginzburg-Landau方程的介绍及双线性化
• 2.3.2 （2+1 ）维Ginzburg-Landau方程的精确解
• 2.3.3 （2+1）维Ginzburg-Landau方程解（2-90）的数值模拟
• 2.4 本章小结
• 第三章 扩展的同宿测试法求（2+1）维KP方程的精确解
• 3.1 KP方程的介绍及双线性化
• 3.2 KP方程的精确解
• 3.2.1 拟设f的第一种形式
• 3.2.2 拟设f的第二种形式
• 3.2.3 拟设f的第三种形式
• 3.2.4 拟设f的第四种形式
• 3.2.5 图形分析
• 3.3 本章小结
• 第四章 结论与展望
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间的研究成果
• 致谢